MS Add. 3965 Cambridge University Library The Newton Project, Faculty of History, University of Oxford 2018-10-08

Zooming image © Cambridge University Library, All rights reserved.

 Images made available for download are licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (CC BY-NC 3.0) This metadata is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License.

This text is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.

 Cambridge University Library (CC BY-NC 4.0) UK Cambridge Cambridge University Library Portsmouth Collection MS Add. 3965 The large collection of papers gathered in Add. 3965 concerns the production, publication and revision of the Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Newton’s masterpiece (the Principia, for short) on the laws of motion and the law of gravitation that was printed in London in 1687. Two revised editions were published during Newton’s lifetime: the second edition in Cambridge in 1713 and the third, again in London, in 1726, just one year before Newton’s death. Newton was prompted to write the Principia when in 1684 Edmond Halley visited him in his rooms in Cambridge with the purpose of asking a question concerning planetary motions he was discussing with Christopher Wren and Robert Hooke. Newton’s first reply took the form of a small tract entitled De Motu Corporum in Gyrum, which he sent to Halley in November 1684 (a draft in Newton’s hand is fols 55-62). In this collection one can find succeeding drafts in the hand of Newton’s amanuensis, Humphrey Newton [fols 23r-26r; fols 40r-54r], as well as a transcription in Halley’s hand [fols 63r-70r]. Halley reacted enthusiastically and actually took upon himself the task of financing the publication of a much longer treatise, which took the form of a hefty book, eventually dedicated to the king, James II [fols 759-64]. The Principia made Newton famous, even though not many on the Continent accepted the idea of a force acting at a distance among all masses in the Universe. The level of sophistication of Newton’s mathematics and the accurate agreement with most (even though not all!) astronomical data did not fail to impress the most competent readers. In the early 1690 Newton soon became unsatisfied with his printed publication and began planning revisions. Some of the papers in Add. 3965 show the depth and breadth of Newton’s intended restructurings [fols 27r-39r]. On fol 39r note that Newton uses his dot notation, which he invented in the early 1690s, in order to express the equation for the vertical motion of a body acted upon by ‘gravity’. Rumours about the imminent publication of a second edition began to spread, thanks also to the reports of two of Newton’s acolytes Nicolas Fatio de Duillier and David Gregory. Only after 1709, however, and thanks to the intermediation of the great classicist Richard Bentley and the editorial work of a young Cambridge Professor of astronomy, Roger Cotes, did Newton begin work on a second edition, which eventually appeared from the University Press in Cambridge in 1713. In Add. 3965 we can find several revisions and additions intended for the second edition. Among them are drafts and revisions for the famous ‘General Scholium’ that Newton added to that edition, as well as notes for the distribution of the printed edition [fol. 358r]. Many drafts concern the mathematization of fluid motion and a proposition of the second book that was mistaken [fols 190r-220v]. In this proposition, the tenth of the second book, Newton deals with the motion of a projectile, acted on by constant gravity and moving in a rare fluid, exerting a resistance proportional to the square of the speed. In the context of the priority dispute on the invention of the calculus that had erupted in 1712, Johann and Nicolaus I Bernoulli, who were on Leibniz’s side, were working hard in order to find mistakes in the Principia. A joint paper was soon submitted to the Academy of Sciences in Paris: in the main paper by Johann, a mistake in Newton's proposition 10 was noted and an alternative calculus solution was given; in the appendix by Nicolaus I it was stated that this mistake was due to Newton's misunderstanding of the meaning of the higher-order infinitesimals occurring in the coefficients of a Taylor series. In September 1712 Nicolaus I Bernoulli, Johann's nephew, arrived in London. He met Newton and informed him that Johann had detected a mistake in Proposition 10. Newton recognized immediately that Nicolaus I was right. Since Roger Cotes had not noticed any error in Proposition 10, the pages with the unaltered 1687 version had already been printed in the second edition, which was currently at the press. Newton worked strenuously in order to reach an understanding of his mistake and produce a correct demonstration, which was pasted in as a correction to the second edition at the last moment. In order to prepare the new editions of the Principia Newton annotated and interleaved his own copies. The University Library owns two interleaved exemplars of the first and second editions of the Principia with Newton’s extensive annotations [Adv.b.39.1 and Adv.b.39.2]. They are precious documents that offer to scholars a unique chance to follow Newton’s mind in revising, rethinking and extending his masterpiece. See I. Bernard Cohen, Introduction to Newton's Principia (Cambridge, 1971), pp.29-32 for general information on the collection. Some of the texts are published in D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton (Cambridge, 1967-1981) and A.R. Hall and M.B. Hall, Unpublished Scientific Papers of Isaac Newton (Cambridge, 1962). Niccolò Guicciardini, Università degli Studi di Milano, and Scott Mandelbrote, Peterhouse, Cambridge. Papers connected with the Principia English and Latin Newton, Isaac, Sir, 1642-1727 Portsmouth, Isaac Newton Wallop, Earl of, 1825-1891 Propositions on Elliptic Motion

A simpler set of demonstrations of the properties of elliptical motion written by Newton for John Locke (who was an early reader of the Principia.) This is Newton's own copy, and differs somewhat from Locke's.

Locke's own copy is dated 'March 1689' - it is likely he meant March 1690 N.S. as Newton did not know Locke until the latter's return from exile in Holland (February 1689).

 A fragment in which Fluxions are employed in finding the Centripetal force in an Orbit Propositions afterwards included in the Principia, but differently numbered Newton, Humphrey

Written in the hand of Humphrey Newton.

 An early partial Principia draft Newton, Humphrey

Written in the hand of Humphrey Newton.

 De Motu Corporum A portion of the first major revision of 'De Motu Corporum' De motu corporum in mediis regulariter cedentibus Newton, Humphrey

Written in the hand of Humphrey Newton and amended in the hand of Isaac Newton, this is an amplified version of the opening of ff.40-54. It is revised further in ff.21-22.

 Papers relating to the first (unpublished) revision of Principia

ff.38 and 39 form part of the 'revised and augmented treatise on quadrature'.

 Propositiones De Motu Amended version of 'De motu corporum' Newton, Humphrey

Humphrey Newton's transcription of Newton's corrected primary autograph (ff.55-62) amplified by an augmented set of introductory 'Definitions' and by new 'scholia' to Theorum 4 and Problem 5 and further altered and slightly amended by Newton's own hand. According to Whiteside, 'By and large these latter changes convert the present text into corresponding portions of ff.21-26.'

 Propositiones de Motu Newton, Humphrey

A Humphrey Newton transcription of De Motu Corporum. The unamended text is very similar to the two known contemporary transcripts of the putative fair copy sent to London in November 1684 and entered around early December in the Royal Society's Register Book (6: ff.218-234.) The other existing copy (ff.63-70) was made by Edmund Halley, perhaps slightly earlier. The changes and revisions to the initial state were afterwards effected by Humphrey Newton in ff.40-54.

 Propositiones de Motu Halley, Edmond, 1656-1742

Edmund Halley's transcription of portions of the first five propositions of De Motu Corporum. Probably transcribed from the putative Humphrey Newton fair copy sent to London in November 1684 and entered into the Royal Society's Register Book (6: ff.218-234.)

 Corrections to the first edition of Principia

These papers contain corrections to the first edition of Principia and are not (as the 1888 catalogue suggests) pre-publication drafts.

 Proposed Corrections probably for the first edition of the Principia Proposed Corrections for the first edition of the Principia

Sixteen lines in Newton's hand referring to page and line numbers in the first edition of Principia.

 Proposed corrections to Principia, probably suggested by Edmund Halley Halley, Edmond, 1656-1742

Isaac Cohen uses these folios as evidence for a lost three book draft of Principia, from which Humphrey Newton copied the version eventually sent via Halley to the Royal Society for printing. He also discusses the probability of Halley's authorship.

On ff.96v Newton himself has roughly drafted some additions and corrections to the scholium to proposition 31 of De Motu Corporum.

 On the Resistance of fluids; account of Hauksbee's experiments, with Newton's deductions; chiefly rough notes Report on Samuel Hawksbee's experiments Hauksbee, Francis, 1666-1713 Newton's preliminary work following Bernoulli's critique of Principia Book II Proposition X [cont.]

Continued from f.109v.

 Draft of a corollary to a 'Prop. XVIII'

Apparently an early version of the Scholium Generale which concludes Sec. IV of the 1687 first edition of Principia but is moved to Sec. VI in the 1713 and 1726 editions. This is not Prop. XVIII of any printed version of Principia.

 Near final draft of parts of Principia Prop. XXXV - XXXVI

f.134 represents a final revision of this manuscript and is virtually identical to the printed version

 Miscellaneous calculations and experiment results Preliminary work following Bernoulli's critique of Principia Book II Proposition X

Continued on f.103.

 Miscellaneous calculations Results of an experiment involving lead balls Letter from Sir Joseph Tily, probably to Isaac Newton Tily, Joseph, Sir

Covered with autograph notes relating to the Principia

 Comparison of the weights of balls in water and in air Miscellaneous notes Early draft of a corollary and a scholium from the Principia Miscellaneous notes Letter from J. Leon to Isaac Newton, reused for Newton's own calculations Leon, J. Table of figures comparing Newton, Halley and three others Halley, Edmond, 1656-1742 Miscellaneous notes on oscillation etc. Notes on fluid inertia and fusiform bodies

Possibly used in Newton's revision of Book II of Principia undertaken around 1710

 Fragment of early Principia draft

Proposition numbers not filled in

 Miscellaneous notes and calculations

On f.133v there is a fragment of pre-first edition Principia draft

 Draft of parts of Principia Prop. XXXV-XXXVI

A revision of f.106, virtually identical with the version published in the first edition of Principia

 Draft of Principia Book II, Proposition X

Newton's final attempt to recast Principia Book II, Proposition X taking account of Bernoulli's critique, but leaving the basic form intact

 Draft of Principia Proposition XXXV, Problem VIII Draft of parts of Principia, Propositions XXXIII, XXXIV, XXXV and XL Draft of Principia Proposition XL, Problem X Notes on Gravitational Experiment Rough Notes and Calculations

Probably preliminary work for the first edition of Principia

 Notes relating to Calculation of orbits of Comets

Probably in preparation for the second edition of Principia

 Additions and Corrections to first edition of the Principia Miscellaneous additions and corrections to the first edition of Principia Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique. There is some evidence to suggest that this is the version of the solution that Newton originally intended to transmit to Bernoulli. It is amended in Newton's hand in the usual manner.

 Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique. Very close to the final, definitive version that Newton sent to his editor, Roger Cotes, on 6 January 1712/13 (now Trinity College R.16.38:262-265)

 Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique. Rough outline of the material in ff.190-191

 Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique. Was probably composed in the following order: f.196r, f.197v, f.197r, f.196v

 Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique. Add 2968.18: 261r lightly remodelled (and now correct)

 Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique.

 Miscellaneous additions and corrections to the first edition of Principia Draft of Principia, Book II, Proposition X

Following Bernoulli's critique. f.219v and f.220v filled out from f.200v. This is the document in which Newton finally arrives at the correct solution.

 Miscellaneous additions and corrections to the first edition of Principia

f.230 is a reused letter to Newton

 Proposed revisions of the second law of motion Miscellaneous additions and corrections to the first edition of Principia

f.288 is a reused letter to Newton, signed 'Woodward, Gresh[am] Coll[ege'

 Miscellaneous additions and corrections to the first edition of Principia Fatio de Duillier, Nicolas, 1664-1753

Includes the draft of the statement praising Nicolas Fatio de Duillier in the text of the proposed Corollary 4 to Proposition VI.

 Miscellaneous additions and corrections to the first edition of Principia

ff.314-317 not Newton autograph.

 Drafts of the Scholium Generale

Includes list of prospective recipients of presentation copies.

 Additions and Corrections to the second edition of the Principia Miscellaneous additions and corrections to the second edition of Principia Drafts of late addendum to Principia Book II, Proposition X Miscellaneous additions and corrections to the second edition of Principia

f.408r contains a letter from I (or J) Price to Newton. f.421v contains a letter from Peter Gartner, probably to Newton.

 Draft Letter from Newton to Locke Locke, John, 1632-1704

Subsequently sent on 2 August 1692 - see Correspondence, vol. 3, 217-219. Miscellaneous calculations associated with revision of the Principia

 Miscellaneous additions and corrections to the second edition of Principia

f.489v contains a letter from William Howard.

 Corrections to the second edition of Principia Pemberton, Henry, 1694-1771

Possibly part of a draft letter to Henry Pemberton.

 Miscellaneous additions and corrections to the second edition of Principia Observations about comets Observations and calculations about comets

f.551r is a letter signed 'Eliz[abe]th Johnson', dated 2nd September 1721

 Observations of the comet of 1680 Flamsteed, John, 1646-1719

Sent to Newton by John Flamsteed.

 Observations and calculations about comets Draft of part of the preface to the first edition of the Principia

Not quite as printed, in part fuller. Together with the printed prefatory poem by Edmund Halley, slightly amended by hand. Much interlineated and corrected. There is a fair copy by an amanuensis at f.183, which differs slightly from this.

 Drafts of the preface to the third edition of Principia Very rough fragments relating to the Principia Miscellaneous fragments Stage in the revision of Principia Book I Miscellaneous fragments

f.638(a)r is a letter from Margaret Barton Warner, Newton's Niece, thanking him for the present of some wine. f.652 is a letter from Mary and Ann Davies. f.659r is a letter from Thomas Sampson.

 Miscellaneous unidentified calculations

f.728r is a letter from Benjamin Smith, Newton's brother.

 Corrections to the first edition of the Principia Dr Halley's account of the Principia given to King James II Halley, Edmond, 1656-1742 James II, King of England, 1633-1701 Paper 764 ff. c.1665-c.1727 England From the Portsmouth Collection, donated by the fifth Earl of Portsmouth, 1872. Celestial Mechanics -- Early works to 1800 Mechanics -- Early works to 1800 English Latin Isaac Newton John Anstis Joseph Taylour Unknown Hand Library of Congress Subject Headings Catalogue information compiled by Rob Iliffe, Peter Spargo & John Young Tagged transcription by Jeremy Schildt Tagged transcription begun by Jeremy Schildt Transcription completed by Jeremy Schildt completed tagged transcription Transcription completed by Jeremy Schildt Checked against microfilm by John Young Checked against microfilm begun by John Young Coding reviewed by John Young Tagged transcription by Yvonne Santacreu Proofed by Robert Iliffe Transcription reviewed by John Young Transcription checked by Michael Hawkins Catalogue information compiled from CUL Janus Catalogue by Michael Hawkins Minor coding errors corrected by John Young Catalogue exported to teiHeader by Michael Hawkins Transcription errors corrected by Stephen Snobelen and corrections input by John Young Transcription editing begun by Shannon Higgins Transcription editing finished by Shannon Higgins Transcription editing completed by Shannon Higgins Transcription checked and amended by Kees-Jan Schilt Catalogue information compiled from CUL Janus Catalogue by Huw Jones Compiled version of CUL metadata and NP transcription created by Michael Hawkins Transcribed by Kees-Jan Schilt
1

Hypoth. 1. Bodies move uniformly in straight lines unless so far as they are retarded by the resistence of ye the Medium or disturbed by some other force.

Hyp. 2. The alteration of motion is ever proportional to ye the force by wch which it is altered.

Hyp. 3. Two Motions imprest in two different lines, if those lines be taken in proportion to the motions & completed into a parallelogram, compose a motion whereby the diagonal of ye the Parallelogram shall be described in the same time in wch which ye the sides thereof would have been described by those compounding motions apart. The

motions AB & AC compound the motion AD.

Prop. 1.

If a body move in vacuo & be continually attracted toward an immoveable center, it shall constantly move in one & the same plane, & in that plane describe equal areas in equall times.

Let A be ye the center towards wch which ye the body

is attracted, & suppose ye the attraction acts not continually but by discontinued impressions made at equal intervalls of time wch which intervalls we will consider as physical moments. Let BC be ye the right line in wch which it begins to move from B & wch which it describes wth with uniform motion in the first physical moment before ye the attraction make its first impression upon it. At C let it be attracted towards ye the center A wth with by one impuls or impression of force, & let CD be ye the line in wch which it shall move after that impuls. Produce BC to I so that CI be equall to BC & draw ID parallel to CA & the point D in wch which it cuts CD shall be ye the place of ye the body at the end of ye the second moment. And because the bases BC CI of the triangles ABC, ACI are equal those two triangles shall be equal. Also because the triangles ACI, ACD stand upon the same base AC & between two parallels they shall be equall. And therefore the triangles ACD described in the second moment shall be equal to ye the triangle ABD described in the first moment. And by the same reason if the body at ye the end of the 2d, 3d, 4th, 5t & following moments be attracted by single impulses in D, D, E, F, G &c describing the line DE in ye the 3d moment, EF in the 4th, FG in ye the 5t &c: the triangle AED shall be equall to the triangle ADC & all the following triangles AFE, AGF & to the preceding ones & to one another. And by consequence the areas compounded of these equall triangles (as ABE, AEG, ABG &c) are to one another as the lines times in wch which they are described. Suppose now that the moments of time be diminished in length & encreased in number in infinitum, so yt that the impulses or impressions of ye the attraction may become continuall & that ye the line BCDEFG by ye the infinite number & infinite littleness of its sides BC, CD, DE &c may become a curve one: & the body by the continual attraction shall describe areas of this Curve ABE, AEG, ABG & proportionall to the times in wch which they are described. W. W. to be Dem.

Prop. 2.

If a body be attracted towards either focus of an Ellipsis & the quantity of the attraction be such as suffices to make ye the body revolve in the circumference of the Ellipsis: the attraction at ye the two ends of the Ellipsis shall be reciprocally as the squares of the body in those ends from that focus.

Let AECD be the Ellipsis, A, C its two

ends or vertices, F that focus towards wch which the body is attracted, & AFE, CFD areas wch which the body with a ray drawn from that focus to its center, describes at both ends in equal times: & those areas by the foregoing Proposition must be equal because proportionall to the times: that is the rectangles 1 2 AF × AE & 1 2 FC × DC must be equal supposing the arches AE & CD to be so very short that they may be taken for right lines & therefore AE is to CD as FC to FA. Suppose now that AM & CN are tangents to the Ellipsis at its two ends A & C & that EM & DN are perpendiculars let fall from the points E & D upon those tangents: & because the Ellipsis is alike crooked at both ends those perpendiculars EM & DN will be to one another as the squares of the arches AE & CD, & therefore EM is to DN as FCq to FAq. Now in the times that the body by means of the attraction moves in the arches AE & 2 & CD from A to E & from C to D it would without attraction move in the tangents from A to M & from C to N. Tis by ye the force of the attractions that the bodies are drawn out of the tangents from M to E & from N to D & therefore the attractions are as those distances ME & ND, that is the attraction at the end of the Ellipsis A is to the attraction at ye the other end of ye the Ellipsis C as ME to ND & by consequence as FCq to FAq. W. w. to be dem.

Lemma. 1.

If a right line touch an Ellipsis in any point thereof & parallel to that tangent be drawn another right line from the center of the Ellipsis wch which shall intersect a third right line drawn from ye the touch point through either focus of the Ellipsis: the segment of the last named right line lying between ye the point of intersection & ye the point of contact shall be equal to half ye the long axis of ye the Ellipsis.

Let APBQ be the Ellipsis; AB its

long axis; C its center; F, f its Foci; P the point of contact; PR the tangent; CD the line parallel to the tangent, & PD the segment of the line FP. I say that this segment shall be equal to AC.

For joyn PF Pf & draw fE parallel to CD & because Ff & F are is bisected in C, & FE shall be bisected in D & therefore 2PD shall be equal to half the summ of PF & PE that is to half the summ of PF & Pf, that is to AB & therefore PD shall be equal to AC. W. W. to be Dem.

Lemma. 2.

Every line drawn through either Focus of any Ellipsis & terminated at both ends by the Ellipsis is to that diameter of the Ellipsis wch which is parallel to this line as the same Diameter is to the long Axis of the Ellipsis.

Let APBQ be ye the Ellipsis, AB its long Axis, F, f its foci, C its center, PQ ye the line drawn through its focus F, & VCS its diameter parallel to PQ & PQ will be to VS as VS to AB.

For draw FP fp parallel to QFP & cutting the Ellipsis in p. Joyn Pp cutting VS in T & draw PR wch which shall touch the Ellipsis Ellipsis in P & cut the diameter VS produced in R & CT will be to CS as CS to CR, as has been shewed by all those who treat of ye the Conic sections. But CT is ye the semisumm of FP & fp that is of FP & FQ & therefore 2CT is equal to PQ. Also 2CS is equal to VS & (by ye the foregoing Lemma) 2CR is equal to AB. Wherefore PQ is to VS as VS to AB. W. W. to be Dem.

Corol. AB × PQ = VS q = 4 CS q .

Lem. 3.

If from either focus F of any Ellipsis unto any point in the perimeter of the Ellipsis be drawn a right line & another right line doth touch ye the Ellipsis in that point & the angle of contact be subtended by any third right line drawn parallel to the first line: the rectangle wch which that subtense conteins wth with the same subtense produced to the other side of the Ellipsis is to the rectangle wch which the long Axis of the Ellipsis conteins wth with ye the first line produced to the other side of the Ellipsis as the square of the distance between the subtense & the first line is to the square of the short Axis of the Ellipsis.

Let AKBL be the Ellipsis, AB

its long Axis, KL its short Axis, C its center, F, f its foci, P ye the point of the perimeter, PF ye the first line PQ that line produced to the other side of the Ellipsis PX the tangent, XY ye the subtense produced to ye the other side of the Ellipsis & YZ the distance between this subtense & the first line. I say that the rectangle YXI is to the rectangle AB × PQ as YZq to KLq

For let VS be the diameter of the Ellipsis parallel to the first line PF & GH another diametrer parallel to ye the tangent PX, & the rectangle YXI will be to the square of the tangent PXq as the rectangle SCV to ye the rectangle GCH that is as SVq to GHq. This a property of the Ellipsis demonstrated by all that write of the conic sections. And they have also demonstrated that all the Parallelogramms circumscribed about an Ellipsis are equall. Whence the rectangle 2 PE × GH is equal to ye the rectangle AB × KL & consequently GH is to KL as AB that is (by Lem. 1) 2PD to 2PE & in the same proportion is PX to YZ. Whence GH PX is to GH as YZ to KL & PXq to GHq as YZq to KLq. But PXq was to GHq as YXI 3 YXI was to PXq as SVq that is (by Lem Cor. Lem. 2) AB × PQ to GHq, whence invertedly YXI is to AB × PQ as PXq to GHq & by consequence as YZq to KLq. W. w. to be Dem.

Prop. III.

If a body be attracted towards either focus of any Ellipsis & by that attraction be made to revolve in the Perimeter of ye the Ellipsis: the attraction shall be reciprocally as the square of the distance of the body from that focus of the Ellipsis.

Let P be the place of the body at any in the Ellipsis at any moment of time & PX the tangent in wch which the body would move uniformly were it not attracted & X ye the place in that tangent at wch which it would arrive in any given part of time & Y the place in the perimeter of the Ellipsis at wch which the body doth arrive in the same time by means of the attraction. Let us suppose the time to be divided into equal parts & that those parts are very little ones so yt that they may be considered as physical moments & yt that ye the attraction acts not continually but by intervalls only once in the beginning of every physical moment & let ye the first action be upon ye the body in P, the next upon it in Y & so on perpetually, so yt that ye the body may move from P to Y in the chord of ye the arch PY & from Y to its next place in ye the Ellipsis in the chord of ye the next arch & so on for ever. And because the attraction in P is made towards F & diverts the body from ye the tangent PX into ye the chord PY so that in the end of the first physical moment it be not found in the place X where it would have been without ye the attraction but in Y being by ye the force of ye the attraction in P translated from X to Y: the line XY generated by the force of ye the attraction in P must be proportional to that force & parallel to its direction that is parallel to PF Produce XY & PF till they cut the Ellipsis

in I & Q. Ioyn FY & upon FP let fall the perperpendicular perpendicular YZ & let AB be the long Axis & KL ye the short Axis of ye the Ellipses. And by the third Lemma YXI will be to AB × PQ as YZq to KLq & by consequence YX will be equall to AB × PQ × YZ q XI × KL q .

And in like manner if py be the chord of another Arch py wch which the revolving body describes in a physical moment of time & px be the tangent of the Ellipsis at p & xy the subtense of the the angle of contact drawn parallel to pF, & if pF & xy produced cut ye the Ellipsis in q & i & from y upon pF be let fall the perpendicular yz: the subtense yx shall be equal to AB × pq × yz quad. xi × KL quad. . And therefore YX shall be to yx as AB × PQ × YZ q XI × KL q to AB × pq × yz quad. xi × KL quad. , that is as PQ XI YZ q to pq xi yz quad.

And because the lines PY py are by the revolving body described in equal times, the areas of the triangles PYF pyF must be equal by the first Proposition; & therefore the rectangles PF × YZ & PF × yz are equal, & by consequence YZ is to yz as pF to PF. Whence PQ XI YZ q is to pq xi yz quad. as PQ XI pF quad. to pq xi PF quad. And therefore YX is to yx as PQ XI pF quad to pq xi PF quad. .

And as we told you that XY was the line generated in a physical moment of time by ye the force of the attraction in P, so for the same reason is xy the line generated in the same quantity of time by the force of the attraction in p. And therefore the attraction in P is to the attraction in p as the line XY to the line xy, that is as PQ XI pF quad to pq xi PF quad.

Suppose now that the equal lines in wch which the revolving body describes the lines PY & py become infinitely little, so that the attraction may become continual & the body by this attraction revolve in the perimeter of the Ellipsis: & the lines PQ, XI as also pq, xi becoming coincident & by consequence equal, the quantities PQ XI pF quad & pq xi PF quad. will become pF quad & PF quad . And therefore the attraction in P will be to the attraction in p as pF q to PF q , that is reciprocally as the squares of the distances of the revolving bodies from the focus of the Ellipsis. W. W. to be Dem.

25 De motu corporum in medijs regulariter cedentibus. Definitiones.

Def. 1. Tempus absolutum est quod sua natura abs que relatione ad aliud quodvis æquabiliter fluit. Tale est, cujus æquationem investigant Astronomi, alio nomine dictum Duratio.

Def. 2. Tempus relative spectatum est quod &c rei alterius fluxione seu transitu mensuratur alicujus sensibilis transitu seu respectu fluxionis seu transitus rei alicujus sensibilis consideratur ut æquabile.. Tale est tempus dierum mensium et aliarum periodorum cœlestium, quod propterea cum hoc mundo cœpisse creditur ex hypothesi quod hæ periodi sunt æquabiles quas vulgus considerantur ut æquabiles considerat ex mente vulgi apud vulgus.

Def. 3. Spatium absolutum dictum est quod sua natura abs que relatione ad aliud quodvis semper manet immobile. Ut partium temporis ordo immutabilis est sic etiam partium spatij. Moveantur hæ de locis suis et movebuntur de seipsis. Nam tempora et spatia sunt suiipsorum et rerum omnium loca. In tempore quoad ordin ē em successionis, in spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illorum essentia est ut sint loca et loca primaria moveri nequeunt absurdum est . . Porrò vi illata moveatur una pars spatii et vi eadem tanta ad omnes in infinitum partes applicata movebitur totum, quod rursus absurdum est.

Def. 4. Spatium relativum est quod respectu rei alterius alicujus sensibilis consideratur ut immobile: uti spatium aeris nostri respectu terræ. Distinguuntur autem hæc spatia ab invicem ipso facto per descensum gravium quæ in spatio absoluto rectàm petunt centrum in relativo absolute gyrante deflectunt ad lat us.

Def. 5. Corpora d res extensa et quæ in sensus omnium incurrunt ut res et mobiles quæ se mutuo penetrare nequeunt.

Def. 6 Centrum corporis cujus que est quod vulgo dicitur centrum gravitatis et axis corporis est linea quævis recta per centrum transiens.

Def. 6 7 Locus corporis est pars spatij in quo corpus existit, est que pro genere spatij vel absolutus vel relativus

Def. 7 8. Quies corporis est perseverantia ejus in eodem loco, est que 26 vel absoluta vel relativa pro genere loci.

Def. 8 9. Motus corporis est translatio ejus de loco in locum, est que itidem vel absolutus vel relativus pro genere loci. Distinguitur autem ipso facto motus absolutus a relativo in gyrantibus, per conatum recedendi a centro, quippe qui in ex gyratione nudè relativa nullus est, in relative quiescentibus permagnus esse potest, ut in corporibus cœlestibus qu a ex mente Cartesianorum quiescunt, buntur conantur tamen a sole recedere. Conatus ille qui certus semper et determinatus arguit certam aliquam et determinatam esse motus realis quantitatem in singulis corporibus, a relationibus quæ innumeræ sunt totidem que motus relativos constituunt minime pendentem. Porro motum et quietem absolute dictu os non pendere a situ et relatione corporum ad invicem manifestum est ex eo quod hæ nunquam mutantur nisi vi in ipsum corpus motum vel quiescens impressa, tali aut ē em vi semper mutantur; at relativæ mutari possunt vi solummodo impressa in altera corpora ad quæ fit relatio et non mutari vi impressa in utra que , sic ut situs relativus conservetur.

Def. 1 9 0. Celeritas motus Velocitas est quantitas momentanea translationis quoad longitudinem itineris certo tempore confecti. Iter verò est quod corporis puncto medio describitur a Geometris dicto centro gravitatis. Loquor de motu progressivo. Def. 10 1. Quantitas motus est quæ oritur ex velocitate et quantitate corporis translati conjunctim. Æstimatur autem quantitas corporis ex copia materiæ corporeæ quæ gravitati suæ fer proportionalis esse solet. Pendulis æqualibus numerentur oscillationes corporum duorum ejusdem ponderis, et copia materiæ in utro que erit reciprocè ut numerus oscillationis um eodem tempore factorum.

Def. 11 2. Vis corporis seu c Corporis insita et innata vis insita, innata et essentialis est potentia qua id conatur perseverat in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in linea recta, est que corporis quantitati proportionalis, exercetur verò proportionaliter mutationi allatae status. Hujus generis et quatenus exercetur dici potest corporis vis exercita conatus et relucto Hujus una species est vis centrifuga gyrantium.

Def. 12 3. Vis motus seu corpori ex motu sua adventitia est qua corpus quantitatem totam sui motus conservare conatur. et Ea vulgo dicitur impi etus est que motui proportionalis, et pro genere motus vel absoluta est vel relativa. Ad absolutam referenda est vis centrifuga gyrantium

6 Densitas corporis est quantitas seu copia materiæ collata cum quantitate spatij quod occupati spatij.

7. Per pondus intelligo quantitatem materiæ abstracta consideratione seu copiam materiæ movendæ abstracta gravitationis consideratione quoties de gravitantibus non agitur. Quippe copiæ materia pondus gravitantium proportionale est quantitati materiæ, analoga per se invicem exponare et designare licet. Analogia verò sic colligatitur Pendulis æqualibus numerentur oscillationes corporum duorum ejusdem ponderis ejusdem ponderis et copia materiæ materiæ in utro que erit reciprocè ut numerus oscillationum eodem tempore factarum. Experimentis autem in auro, argento, plumbo, sale commu vitro, arena sale communi, aqua, ligno, tric tico & diligenter institutis reperi fàctis incidi semper in eundem oscillationum numerum. [Ob hanc analogiam & defectu vocis commodioris expono et designo quantitatem materiæ per pondus, etiam in non gravitantibus corporibus quorum gravitatio non consideratur.]

8 Locus

9 Quies

10 Motus

11 Velocitas

12 Quantitas motus est quæ oritur ex velocitate et pondere corporis translati Motus additione corporis alterius tanto cum motu fit duplus et duplicatata velocitate quadrul plus

Def. 13 5. Vis impaleus impressa corpori illata et impressa est qua corpus urgetur mutare statum suum movendi vel quiescendi est que diversarum specierum, sivit pulsus seu pressio percutientis, pressio continua, vis centripeta, resistentia eo medij eant corporis cujusvis alterius. &

Def 14 Corporis vis exercita est qua id cona tur singulis momentis conservare status sui movendi vel quiescendi partem amissam illam quam singulis momentis amittit, est que status illius mutationi seu parti singulis momentis amissæ proportionalis, nec improprie reluctatio vel resistentia dicitur vel reluctatio corporis dicitur. Hujus reperienda una species est vis centrifuga gyrantium.

Def. 14 6. Vim centripetam appello qua corpus impellitur vel attrahitur versus punctum aliquod quod ut centrum spectatur. Hujus generis est gravitas tendens ad centrum terræ, vis magnetica tendens ad centrum magnetis et vis cœlestis cohibens Planetas re abeant in tangentibus orbi terram orbitarum.

Def. 16 7. Per medij Resistentia m est in sequentibus intelligo vim s medij regulariter impedientis. Aliam 23 resistentiam tibus non considero. Sunt et aliæ vires ex corporum elasticitate, mollitie, tenacitate & pendentes quos hic non considero.

Def. 16. Momenta quantitatum sunt ipsarum principia generantia vel alterantia fluxu continuo: ut tempus præsens præteriti et futuri, motus præsens, præteri et futuri, vis centripeta aut alia quævis momentanea impetus, punctum lineæ, linea superficiei, superficies solidi et angulus contactus anguli rectilinei.

Def. 17 8. Exponentes temporum spatiorum motuum celeritat ū um et virium sunt quantitates quævis proportionales exponendis

Hæc omnia fusius explicare visum est ut Lector claris præjudcijs præjudicijs quibusdam vulgaribus liberatus et distinctis principiorum m Mechanicorum conceptibus imbutus accederet ad sequentia. Quantitates autem absolutas et relativas ab invicem acriter sedulò distinguere coactus f recesse f uit eò, quod phænomena omnia prendeant ab absolutis, vulgus autem qui cogitationes a sensibus abstrahere nesciunt semper loquuntur de relativis, us que adeo ut absurdum foret vel sapientibus aut vel etiam p Prophetis apud hos aliter loqui. Vnde et sacræ lite t ræ et Ss cripta Theologorum de relativis semper intelligenda sunt, et crasso laboraret præjudicio qui inde de rerum naturalium motibus absolutis philosophicis disputationes movera e nt. Perinde est ac si quis Lusam (in Gemut) magnitudine non apparente sed absoluta numerari inter duo maxima lumina G numerari contenderet. Gemut

Leges motus.

Lex 1. Vi insi ta corpus semper omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformitèr in linea recta in linea recta nisi quatenus viribus impressis et impedi m entisur cogitur statum illum mutare. Motus autem uniformis hic est duplex, progressivus secundum lineam rectam quam corpus centro suo æquabilitur lato describit & circularis circa axem suum quemvis qui vel quiescit vel motu uniformi latus semper manet sibi ipsi positionibus suis prioribus parallelus.

Lex 2. Mutationem motus proportionalem esse vi impressæ et fieri secundum lineam rectam quâvis illa imprimitur. Hisce duabus Legibus jam receptissimis Galilæus invenit projectilia gravitate uniformiter et secundum lineas parallelas agente in medio non resistente lineat s Parabolicam s describere. Et suffragatur experientia nisi quatenus motus projectilium ab resistentia aeris retans aliquantulum retardatur. Ab.

Lex 3. Corpus omne tantum pati reactione quantum agit in alterum. go Quicquid premit vel trahit alterum, ab eo tantum premitur vel trahitur. Si vesica aere plena premit vel ferit alteram sibi consimilem cedet utra que æqualiter introrsum. Si magnestrahit ferrum ipse vicissim tantum trahitur. Si corpus impingens in alterum vi sua mutat motum alterius et ipsius motus (vi ob æqualitatem pressionis mutuæ) vi alterius tantum mutabitur. Si magnes trahit ferrum ipse vicissim tantum trahitur, et sic in alijs. Constat verò hæc Lex per Def. 1 3 2 et 14 in quantum vis corporis ad status sui conservationem exercita sit eadem cum vi in corpus alterum ad illius statum mutandum impressa, et vi priori proportionalis sit mutatio status prioris posteriori ea posterioris.

Lex 4. Corporum dato spatio inclusorum eosdem esse motus inter se sive spatium illud absolutè quiescat sive moveat id perpetuò 24 et uniformiter in directum abs que motu circulari E. g. Motus rerum in navi perinde se habent sive navis quiescat sive moveat ea uniformiter in directum.

Lex 5. Mutuis corporum actionibus commune centrum gravitatis non mutare statum suum motus vel quietis. Hæc lex et duæ superiores se mutuò probant.

Lex 6. Resistentiam medij esse ut medij illius densitas et sphærici corporis moti superficies et velocitas conjunctim. Hanc legem exactam esse non affirmo. Sufficit quod sit vero proxima. Corpora vero sphærica esse suppono in sequentibus, ne opus sit circumstantias diversarum figurarum considerare

Lemmata

Lem. 1. Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere quo latera separatis.

Si corpus dato tempore vi sola M ferretur

ab A ad B et vi sola N ab A ad C, compleatur parallelogrammum ABDC et vi utra que feretur id eodem tempore ab A ad D. Nam quoniam vis M agit secundum lineam AC ipsi BD parallelam, hæc vis nihil mutabit celeritatem accedendi ad linei am illam BD vi altera impressam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD sive vis AC imprimi atur sive non, at que adeò in fine illius temporis reperietur alicubi in linea illa BD. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea CD, et proinde in utrius que lineæ concursu D reperiri necesse est.

Lem. 2. Spatium quod corpus urgente quacun que vi centripeta ipso motus initio describit, esse in duplicata ratione temporis.

Exponantur tempora per lineas AB, AD datis Ab Ad proportionali es, et urgente vi centripeta æquabili exponentur spatia descripta per areas rectilineas ABF ADH perpendiculis

40 De motu sphæricorum Corporum in fluidis.

Def. 1. Vim centripetam appello qua corpus attrahitur vel impellitur versus punctum aliquod quod ut centrum spectatur.

Def. 2. Et vim corporis seu corpori insitam qua id conatur perseverare in motu suo secundum lineam rectam.

Def. 3. Et resistentiam quæ est medij regulariter impedientis.

Def. 4. Exponentes quantitates um sunt aliæ quævis quantitates proportionales expositis.

Hypoth Lex 1. Sola vi insita corpus motu uniformiter in linea recta semper pergere si nil impediat.

Hypoth Lex 2. Motum gravitum vel Mutationem motus status movendi vel quiescendi proportionalem esse vi impressæ et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Hypoth Lex 3. Corporum dato spatio inclusorum eosdem esse motus inter se sive spatium illud quiescat sive moveat id perpetuò et uniformiter in directum abs que motu circulari.

Hypoth Lex 4. Mutuis corporum actionibus commune centrum gravitatis non mutare statum suum motus vel quietis. Constat ex ex Hyp Lege 3

Hypoth Lex 5. Resistentiam medij esse ut medij illius densitas et corporis moti sphærica superficies & velocitas conjunctim.

Lemma 1 Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogramm i eodem tempore describere quo latera separt atis.

Si corpus dato tempore vi sola M ferretur ab

A ad B et vi sola N ab A ad C, compleatur parallelogrammum ABDC et vi utra que feretur id eodem tempore ab A ad D. Nam quoniam vis M agit secundum lineam AC ipsi BD parallelam, hæc vis per Legem 2 nihil mutabit celeritatem accedendi ad lineam illam BC D vi altera impressam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD sive vis AC imprimatur sive non, at que adeò in fine illius temporis reperietur alicubi in linea illa BD. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea CD, et proinde in utrius que lineæ concursu D reperiri necesse est.

Lemma 2 Spatium quod corpus urgente quacun que vi centripeta ipso motus initio describit, esse in duplicata ratione temporis.

41

Exponantur tempora per lineas

AB, AD datis Ab Ad proportionales, et urgente vi centripeta æquabili exponentur spata ia descripta pea areas rectilineas ABF ADH perpendiculis BF, DH et rectâ quavis AFH terminatas ut exposuit Galilæus. Sit Vrgente autem vis centripeta inæquabilis et perinde exponantur spatia descripta per areas ABC, ADE curva quavis ACE quam recta AFH tangit in A, comprehensas. Age rectam AE parallelis BF, bf, dh occurrentem in G, g, e, et ipsis bf, dh occurrat AFH producta in f et h. Quoniam area ABC major est area ABF minor area ABG et area curviline a ADEC major area ADH minor area ADEG erit area ABC ad aream ADEG major quam area ABF ad aream ADEF G minor quam area ABG ad aream ADH hoc est major quam area Abf ad aream Ade minor quam area Abg ad aream Adh. Diminuantur jam lineæ AB, AD in ratione sua data us que dum puncta ABD coeunt et linea Ae conveniet cum tangente Ah, adeo que ultimæ rationes Abf ad Ade et Abg ad Adh evadent eædem cum ratione Abf ad Adh. Sed hæc ratio est dupla rationis Ab ad Ad seu AB ad AD ergo ratio ABC ad ADEC ultimis illis intermedia jam fit dupla rationis AB ad AD id est ratio ultima evanescentium spatiorum seu prima nascentium dupla est rationis temporum.

Lemma 3. Quantitates differentijs suis proportionales sunt continuè proportionales. Ponatur A ad A — B, ut B ad B — C & C ad C — D &c et dividendo fiet A ad B ut B ad C et C ad D &c

Lemma 4. Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta, esse inter se æqualia. Constat ex Conicis.

De motu corporum in medijs non resistentibus

Theorema 1. Gyrantia omnia radijs ad centrum ductis areas temporibus proportionales describere.

Dividatur tempus in partes æquales, et prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte si nil impediret a a Hypoth. Lex 1. rectà pergeret ad c describens 42 describens lineam Bc æqualem ipsi AB

adeo ut radijs AS, BS, cS ad centrum actis confectæ forent æquales areæ ASB, BSc. Verum ubi corpus venit ad B agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciat que corpus a recta Bc deflectere et pergere in recta BC. Ipsi BS parallela agatur cC occurrens BC in C et completa secunda temporis parte b b Lem. 1. corpus reperietur in C. Iunge SC et triangulum SBC ob parallelas SB, Cc æquale erit triangulo SBc at que adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis centripeta successivè agat in C, D, E &c faciens corpus singulis temporis momentis singulas describere rectas CD, DE, EF &c triangulum SCD triangulo SBC et SDE ipsi SCD et SEF ipsi SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ describuntur. Sunto jam hæc triangula numero infinita et infinitè parva, sic, ut singulis temporis momentis singula respondeant triangula, agente vi centripeta sine intermissione, et constabit propositio.

Theorem. 2. Corporibus in circumferentijs circulorum uniformiter gyrantibus vires centripetas esse ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad radios circulorum.

Corpora B, b in circumferentijs

circulorum BD, bd gyrantia simul describant arcus BD, bd. Eodem Sola vi insita describerentur tangentes BC, bc his arcubus æquales. Vires centripetæ sunt quæ perpetuò retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias, at que adeo hæ sunt ad invicem ut spatia ipsis superata CD, cd, id est productis CD, cd ad F et f ut BC quad CF ad bc quad cf sive ut BD quad. 1 2 CF ad bd quad. 1 2 cf . Loquor de spatijs BD, bd minutissimis in que infinitum diminuendis sic ut pro 1 2 C F , 1 2 c f scribere liceat circulorum radios SB, sb. Quo facto constat Propositio.

Cor 1. Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.

Cor 2. Et reciprocè ut quadrata temporum periodicorum applicata ad radios .

Cor 3. Vnde si quadrata temporum periodicorum sunt ut radij circulorum vires centripetæ sunt æquales, Et vice versa

43

Cor 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum vires centripetæ sunt reciprocè ut radij: Et vice versa

Cor 5 Si quadrata temporum perïodicorum sunt ut cubi radiorum vires centripetæ sunt reciprocè ut quadrata radiorum: Et vice versa.

Schol. Casus Corollarij quinti obtinet in corporibus cœlestibus. Quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi distantiarum a communi centro circum quod volvut ntur. Id obtinere in Planetis majoribus circa solem gyrantibus in que minoribus circa Iovem et Saturnum jam statuunt Astronomi.

Theor. 3. Si corpus P circa centrum S gyrando, describat lineam quamvis curvam APQ,

et si tangat recta PR curvam illam in puncto quovis P et ad tangentem ab alio quovis curvæ puncto Q agatur QR distantiæ SP parallela ac demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: dico, quod vis centripeta sit reciprocè ut solidum SP quad. × QT quad. QR , si modò solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimò fit ubi coeunt puncta P et Q.

Nam que in figura indefinitè parva QRPT lineola nascens QR dato tempore ut est ut vis centripeta et data vi ut a a Lem. 2. quadratum temporis at que adeo neutro dato ut vis centripeta et quadratum temporis conjunctim, id est ut vis centripeta semel et area SQR P tempori proportionalis (vel duplum ejus SP × QT ) bis. Applicetur hujus proportionalitatis pars utra que ad lineolam QR et fiet unitas ut vis centripeta et SP q × QT q QR conjunctim, hoc est vis centripeta reciprocè ut SP q × QT q QR Q. E. D.

Corol. Hinc si detur figura quævis et in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur, inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrare faciet. Nimirum computandum est solidum SP q × QT q QR huic vi reciprocè proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematîs sequentibus.

Prob. 1. Gyrat corpus in circumferentia

circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia.

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad SA diametrum et SP demitte perpendicula PK,QT et 44 et per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem circulo in L et tangenti PR in R, et coeant TQ, PR in z. Ob similitudinem triangulorum zQR, zTP, SPA erit RPq (hoc est QRL) ad QTq ut SAq ad SPq. Ergo QRL × SP q SA q = QT q . Ducantur hæc æqualia in SP q QR et punctis P et Q coeuntibus scribatur SP pro RL. Sic fiet SP qc SA q = QT q × SP q QR . Ergoa a Cor. Theor. 3. vis centripeta reciproce est ut SP qc SA q , id est (ob datum SAq) ut quadrato–cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.

Schol. Cæterum in hoc casu et similibus concipiendum est quod postquam corpus pervenit ad centrum S, id non amplius redibit in orbem sed abibit in tangente. In spirali quæ secat radios omnes in dato angulo vis centripeta tendens ad spiralis principium est in ratione triplicata distantiæ reciprocè, sed in principio illo recta nulla positione determinata spiralem tangit.

Prob. 2. Gyrat corpus in Ellipsi veterum: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos.

Sunto CA, CB semi–axes Ellipseos,

GP, DK diametri conjugatæ, PF, QT t perpendicula ad diametros QV ordinatim applicata ad diametrum GP et QVPR parallelogrammum. His constructis erit C ex Conicis) PVG ad QVq ut PCq ad CDq et QVq ad Qtq ut PCq ad PFq et conjunctis rationibus PVG ad Qtq ut PCq ad CDq et PCq ad PFq, id est VG ad Qt q PV ut PCq ad CD q × PF q PC q . Scribe QR pro PV a a Lem 4 et BC × CA pro CD × PF , nec non (punctis P et Q coeuntibus) 2PC pro VG et ductis extremis et medijs in se mutuò fiet Qt q × PC q QR = 2BC q × CA q PC . Estb b Cor. Theor. 3 ergo vis centripeta reciprocè ut 2BC q × CA q PC id est (ob datum 2BC q × CA q ) ut 1 PC , hoc est directè, ut distantia PC. Q. E. I.

Prob. 3. Gyrat corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum Ellipseos.

Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellipseos diametrum DK in E et lineam QV in X et compleatur parallelogrammum QXPR.. Patet EP æqualem esse semi–axi majori AC eò, quod actâ ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob æquales CS, CH æquentur ES, EI, adeo ut EP semisumma sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HS I, PR & angulos æquales IPR, HPZ) ipsarum PI S, PH quæ conjunctim axem totum 2AC adæquant. Ab d SP demittatur perpendicularis QT. Et Ellipseos latere recto principali (seu 2BC q AC ) dicto L, erit L × QR ad L × PV ut QR ad PV id est ut PE (seu AC) ad PC et L × PV ad 45 GVP ut L ad GV et GVP ad QVq ut CPq ad CDq. et QVq ad QXq puta ut M ad N et QXq punctis Q et P coeuntibus fit ratio æqualitatis et QXq seu QVq est ad QTq ut EPq ad PFq id est ut CAq ad PFq sive a a per Lem: 4 ut CDq ad CBq. et conjunctis his omnibus rationibus, L × QR fit ad QTq ut AC ad PC + L ad GV + CP q ad CDq + M ad N + CDq ad CBq, id est ut AC × L (seu 2BC q ) ad PC × GV + CP q ad CBq + M ad N, sive ut 2PC ad GV + M ad N. Sed punctis Q et P coeuntibus rationes æquantur 2PC ad & GV et M ad N fiunt æqualitatis: Ergo et ex his composita ratio L × QR , Q & QTq . æquantur. Ducatur pars utra que in SP q QR et fiet L × SP q = SP q × QT q QR . Ergo b b Cor. Th. 3. gravitas vis centripeta reciprocè est ut L × SP q id est reciprocè in ratione duplicata distantiæ SP. Q. E. I.

Schol. Gyrant ergo Planetæ majores in Ellipsibus habentibus umbilicum in centro solis, et radijs ad solem ductis describunt areas temporibus proportionales, omnino ut supposuit Keplerus. Et harum Ellipseon latera recta sunt quantitas QT q QR , quæ ultimò fit ubi coeunt punctis a P et Q. Spatio quam minimo et quasi infinitè parvo distantibus

Theor. 4. Posito quod vis centripeta sit reciprocè proportionalis quadrato distantiæ a centro, quadrata temporum periodicorum in Ellipsibus sunt ut cubi transversorum axium.

Sunto Ellipseos axis transversus

AB, axis alter BD latus rectum L, umbilicus alteruter S. Centro S intervallo SP describatur circulus PMD. Et eodem tempore describant corpora duo gyrantia arcum Ellipticum PQ et circularem PM, vi centripeta ad umbilicum S tendente. Ellipsin et circulum tangant PR, PN in puncto P. Ipsi PS agantur parallelæ QR, MN tangentibus occurrentes in R et N. Sint autem figuræ PQR, PMN indefinitè parvæ sic ut (per Schol. Prob. 3) fiat L × QR = QT q et 2SP × MN = MV q . Ob communem a centro S distantiam SP et inde æquales vires centripetas . . Lex 2 sunt MN et QR æquales. Ergo QTq ad MVqest ut L ad 2SP, et QT ad MV ut medium proportionale inter L et 2SP seu PD ad 2SP. Hoc est area SPQ ad aream SPM ut area tota. Ellipseos ad aream totam circuli. Sed partes arearum singulis momentis genitæ sunt ut areæ SPQ et SPM at que adeo ut areæ totæ et proinde per numerum momentorum multiplicatæ simul evadent totis æquales. Revolutiones igitur eodem tempore in Ellipsibus perficiuntur ac in circulis quorum diametri sunt axibus transversis Ellipseon æquales. Sed (per Cor. 5 Theor. 2) quadrata temporum 46 temporum periodicorum in circulis sunt ut cubi diametrorum. Ergo et in Ellipsibus Q. E. D.

Schol. Hinc in systemate cœlesti ex temporibus periodicis Planetarum innotescunt proportiones transversorum axium Orbitar ū um . Axem unum licebit assummere. Inde dabuntur cæteri. Datis autem axibus determinabuntur Orbitæ in hunc modum. Sit S locus solis seu Ellipseos umbilicus

unus A, B, C, D loca Planetæ observatione inventa et Q axis transversus Ellipseos. Centro A radio Q – AS describatur circulus FG et erit Ellipseos umbilicus alter in hujus circumferentia. Centris B, C, D, &c intervallis Q – BS, Q – CS, Q – DS &c describantur itidem alij quotcun que circuli et erit umbilicus ille alter in omnium circunferentijs at que adeo in omnium intersectione communi F. Si intersectiones omnes non coincidunt, sumendum erit punctum medium pro umbilico. Praxis hujus commoditas est quod ad unam conclusionem eliciendam adhiberi possint ut inter se expeditè comparari observationes quamplurimæ. Planetæ autem loca singula A,B,C,D &c ex binis observationibus, cognito Telluris orbe magno invenire docuit Halleus. Si orbis ille magnus nondum satis exactè determinatur s habetur, ex eo propè cognito, determinabitur orbita Planetæ alicujus, puta Martis, propius: Deinde ex orbita Planetæ per eandem methodum determinabitur orbita telluris adhuc propius: Tum ex orbita Telluris determinabitur orbita Planetæ multò exactiùs quam priùs: Et sic per vices donec circulorum intersectiones in umbilico orbitæ utrius que exactè satis conveniant.

Hac methodo determinare licet orbitas Telluris, Martis, Iovis et Saturni, orbitas autem Veneris et Mercurij sic. Observationibus in maxima Planetarum a sole digressione factis, habentur orbitarum tangentes. Ad ejusmodi tangentem KL demittatur a Sole perpendiculum SL centro que L et intervallo dimidij

axis Ellipseos describatur circulus KM. Erit centrum Ellipseos in hujus circumferentia, adeo que descriptis hujusmodi pluribus circulis reperietur in omnium intersectione. Cogintis Cognitis tandem orbitarum dimensionibus, longitudines horum Planetarum postmodum exactiùs ex transitu suo per discum solis determinabuntur.

47

Cæterum totum cœli Planetarij spatium vel quiescit (ut vulgò creditur) vel uniformiter movetur in directum et perinde Planetarum commune centrum gravitatis (per Hyp Legem. 4) vel quiescit vel una movetur. Vtro que in casu motus Planetarum inter se (per Hyp. Leg ē em 3) eodem modo se habent, et eorum commune centrum gravitatis respectu spatij totius quiescit, at que adeo pro centro immobili systematis totius Planetarij haberi debet. Inde verò systema Copernicæum probatur a priori. Nam si in quovis Planetarum situ computetur commune centrum gravitatis hoc vel incidet in corpus solis vel ei semper proximum erit. Eo solis a centro gravitatis errore fit ut vis centripeta non semper tendat ad centrum illud immobile et inde ut planetæ nec moveantu r in Ellipsibus exactè ne que bis revolvant in eadem orbita. Tot sunt orbitæ Planetæ cujus que quot revolutiones, ut fit in motu Lunæ et pendet orbita unaquæ que ab omnium Planetarum motibus conjunctis, ut taceam eorum omnium actiones in se invicem. Tot autem motuum causas simul considerare et legibus exactis calculum commodum admittentibus motus ipsos definire superat in fallor vim omnem humani ingenij. Omitte minutias illas et orbita simplex et inter omnis errores medior cris erit Ellipsis de qua jam egi. Si quis hanc Ellipsis ex tribus observationibus per computum trigonometricus (ut solet) determinare tentaverit, hic minus caute rem aggressus fuerit. Participabunt observationes illæ de minutijs motuum irregularium hic negligendis adeo que Ellipsim de justa sua magnitudine et positione (quæ inter omnes errores mediocris esse debet) aliquantulum deflectere facient, at que tot dabunt Ellipses ab invicem discrepantes quot adhibentur observationes trinæ. Conjungendæ sunt igitur et una operatione a inter se conferendæ observationes quamplurimæ, quæ se mutuò contemperent et Ellipsin positione et magnitudine m mediocrem exhibeant.

Prob. 4 Posito quod vis centripeta sit reciprocè proportionalis quadrato distantiæ a centro, et cognita vis illius quantitate, requiritur Ellipsis quam corpus describet de loco dato cum data celeritate secundum datam rectam emissum.

Vis centripeta tendens ad punctum S ea sit quæ corpus ω in circulo πχ centro S intervallo quovis S ω descripto gyrare faci at. De loco P secundum lineam PR emittatur corpus P, et mox 48 et mox inde cogente vi centripeta deflectat

in Ellipsin PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta πρ circulum in ω sit que PR ad ω ρ ut prima celeritas corporis emissi P ad uniformem celeritatem corporis ω . Ipsis SP et S ω parallelæ agantur RQ et ρχ hæc circulo in χ illa Ellipsi in Q occurrens, et a Q et χ ad SP et S ω demittantur perpendicula QT et χτ. Est RQ ad ρχ ut vis centripeta in P ad vim centripetam in ω id est ut S ω quad., ad SPquad., adeo que datur illa ratio. Datur etiam ratio QT ad RP et ratio RP ad S ω seu χτ et inde composita ratio QT ad χτ. De hac ratione duplicata auferatur ratio data QR ad χρ et manebit data ratio QT q QR ad χτ q χρ , id est (per Schol. Prob. 3) ratio lateris recti Ellipseos ad diametrum c irculi. Datur igitur latus rectum Ellipseos. Sit istud L. Datur præterea Ellipseos umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat angulus RPH et dabitur positione linea PH in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpendiculo SK et erecto semiaxe minore BC est a a SP q − 2 KPH + PH q = SH q = 4CH q = 4 BH q − 4 BC q = SP + PH ¯ quad. − L × SP + PH ¯ = SP q + 2 SPH + PH q − L × SP + PH ¯ . Addantur u trobi que 2 KPH + L × SP + PH − SP q − PH q et fiet L × SP + PH = 2 SPH + 2 KPH seu SP + PH ad PH ut 2 SP + 2 KP ad L. Vnde datur umbilicus alter H. Datis autem umbilicis una cum axe transverso SP + PH , datur Ellipsis. Q. E. I.

Hæc ita se habent ubi figura Ellipsis est. Fieri enim potest ut corpus moveat tur in Parabola vel Hyperbola. Nimirum si tanta est corporis celeritas ut sit latus rectum L æquale 2 SP + 2 KP , figura erit Parabola umbilicum habens in puncto S et diametros omnes parallelas lineæ PH. Sin corpus majori adhuc celeritate emittitur movebitur id in Hyperbola habente umbilicum unum in puncto S alterum in puncto H sumpto ad contrarias partes puncti P et axem transversum æqualem differentiæ linearum PS et PH.

Schol. Iam vero beneficio soluti hujus Problematis soluti Plane Come tarum orbitas definire concessum est, et inde revolutionum tempora, & ex orbitarum magnitudine, excentricitate, Aphelijs, inclinationibus ad planum Eclipticæ et nodis inter–se collatis cognoscere an idem Cometa ad nos sæpius redeat. Nimirum ex quatuor observationibus 49 locorum Cometæ, juxta Hypothesin quod Cometa movetur uniformiter in linea recta, determinanda est ejus via rectilinea. Sit ea APBD, sint que A, P, B, D loca cometæ in via illa temporibus observationum, et S locus Solis. Ea celeritate qua Cometa uniformiter percurrit

rectam AD finge ipsum emitti de locorum suorum aliquo P et vi centripeta mox correptum deflectere a recto tramite et abire in Ellipsi Pbda. Hæc Ellipsis determinanda est ut in superiore Problemate. In ea sunto a, P, b, d loca Cometæ temporibus observationum. Cognoscantur horum locorum e terra longitudines et latitudines. Quanto majores vel minores sunt his longitudines et latitudines observatæ tantò majores vel minores observatis sumantur longitudines et latitudines novæ, id adeo ut correctiones respondeant erroribus.. Ex his novis inveniatur denuò via rectilinea cometæ et inde via Elliptica ut prius. Et loca quatuor nova in via Elliptica prioribus erroribus aucta vel diminuta jam congruent cum observationibus exactè satis. Aut si fortè quam proxime. At si errores etiamnum sensibiles manserint potest opus totum repeti. Et nè computa Astronomos molestè habeant suffecerit hæc omnia per descriptionem linearum determinare.

Sed Verùm areas aSP, PSb, bSd temporibus proportionales assignare difficile est. Super Ellipseos

axe majore EG describatur semicirculus EHG. Sumatur angulus ECH tempori proportionalis. Agatur SH ei que parallela CK circulo occurrens in K. Iungatur HK est circuli segmento HKM (per tabulam segmentorum vel secus) æquale fiat triangulum SKN. Ad EG demitte a tur perpendiculum NQ, et in eo capie a tur PQ ad NQ e ut est Ellipseos axis minor ad axem majorem et erit punctum P in Ellipsi at que acta recta SP abscindet aream Ellipseos EPS tempori proportionalem is. Nam que area HSNM triangulo SNK aucta et huic æquali segmento HKM diminuta fit triangulo HSK id est triangulo HSC æquale. Hæc æqualia adde i ta areæ ESH, fient facient areæ as æquales EHNS & EHC. Cùm igitur Sector EHC tempori proportionalis sit et area EPS areæ EHNS, erit etiam area EPS tempori proportionalis

Hactemus Prob. 5 50

Prob. 5. Posito quod vis centripeta sit reciprocè proportionalis quadrato distantiæ a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus describit.

Si corpus non cadit perpendiculariter describet id Ellipsin puta APB cujus umbilicus inferior puta S cont gruet cum centro. Id ex jam demonstratis constat. Super

Ellipseos axe majore AB describatur semicirculus ADB et per corpus decidens transeat recta DPC perpendicularis ad axem, actis que DS, PS, erit area ASD areæ ASP at que adeò etiam tempori proportionalis. Manente axe AB minuatur perpetuò latitudo Ellipseos, et semper manebit area ASD tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum et orbita APB jam coincidente cum axe AB et umbilico S cum axis termino B descendet corpus in recta AC et area ABD evadet tempori proportionalis. Definietur ita que spatiū AC quod corpus de loco A perpendiculariter cadendo tempore dato describit si modò tempori proportionalis capiatur area ABD et a puncto D ad rectam AB demittatur perpendicularis DC.Q.E.F.

Schol. Hactenus motum corporum in modijs non resistentibus exposui, id adeo ut motus corporum cœlestium in æthere determinarem. Ætheris enim puri resistentia quantum sentio vel nulta est vel perquam exigua. Valide resistit argentum vivum, longè minùs aqua, aer verò longè adhuc ininùs. Pro densitate sua quæ ponderi fere proportionalis est at que adeo (pene dixerim) pro quantitate materiæ sue crasse resistunt hæc media. Minuatur igitur aeris materia crassa et in eadem circiter proportione minu atur medij resistentia us que dum ad ætheris tenuitatem perventum sit. Celeri cursu equitantes vehementer aeris resistentiam sentiunt, at navigantes exclusis e mari interiore ventis inhil nihil omninò ex æthere præter fluente patiuntur. Si aer liberè interflueret particulàs corporum et sic ageret, non modo in externam totius superficiem, sed etiam in superficies singulo arum partium, longè major foret ejus resistentia. Interfluit æther liberrimè nec tamen resistit sensibiliter. Cometas infra orbitam Saturni descendere jam sentiunt Astronomi saniores quotquot distantias eorum ex orbis magni parallaxi præ terpropter colligere norunt: hi igitur celeritate immensa in omnes cœli nostri partes indifferenter feruntur, nec ta men vel crinem seu vaporem capiti circundatum resistentia ætheris impeditum et abreptum amittunt. Planetæ verò jam per annos millenos in motu suo perseverarunt, 51 tantum abest ut impedimentum sentiant.

Demonstratis igitur legibus reguntur motus in cœlis. Sed et in aere nostro, se resistentia ejus non consideratur, innotescunt motus projectilium per Prob. 4. et motus gravium perpendiculariter cadentium per Prob. 5. posito nimirum quod gravitas sit reciprocè proportionalis quadrato distantiæ a centro terræ. Nam virium centripetarum species una est gravitas; et computanti mihi prodijt vis centripeta qua luna nostra detimetur in motu suo menstruo circa terram, ad vim gravitatis his in superficie terræ, reciprocè ut quadrata distantiarum a centro terræ quamproximè. Ex horologij oscillatorij motu tardiore in cacumine montis præalti quàm in valte liquet etiam gravitatem ex aucta nostra a terræ centro distantia diminui, sed qua proportione nondum observatum est.

Cæterum projectitium motus in aere nostro referendi sunt ad immensum et revera immobile cœlorum spatium, non ad spatium mobile quod una cum terra et aere nostro convolvitur. et a rusticis ut immobile spectatur. Invenienda est Ellipsis quam projectile describit in spatio illo verè immobili et inde motus ejus in spatio mobili determinandus. Hoc pacto colligitur grave, quod de ædeficij sublimis vertice demittitur, inter cadendum deflectere aliquantulum a perpendiculo, ut et quanta sit illa deflexio et quam in partem. Et vicissim ex deflexione experimentis comprobata colligitur motus terræ. Cum ipse olim hanc deflexionem Clarissimo Hookio significarem, is experimento ter facto rem ita se habere confirmavit, deflectente semper gravi a perpendiculo versus orientem et austrum ut in latitudine nostra boreali oportuit.

De motu corporum in medijs resistentibus.

Prob. 6. Corporis sola vi insita per medium similare resistens delati motum definire.

Asymtotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola secans perpendicula

AB, DG in B, G. Exponatur tum corporis celeritas tum resistentia medij ipso motus initio per lineam AC elapsu datæ longitudinis, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitem DC, et tempus exponi potest per aream ABGD at que spatium eo tempore descriptum per lineam AD. Nam celeritati proportionalis 52 proportionalis est resistentia medij et resistentiæ proportionale est decrementum celeritatis, hoc est provide si tempus in partes æquales dividatur, celeritates ipsarum initijs sunt erunt differentijs suis proportionales. Decrescit ergo celeritas in a a Lem. 3 proportione Geometrica dum tempus crescit in Arithmetica. Sed tale est decrementū proportione priore decrescit linea DC et incrementum posteriore crescit area ABGD, ut notum est. Ergo tempus per aream et celeritas per lineam illam rectà expositur. Q. E. F. Porro celeritati at que adeo decremento celeritatis proportionale est incrementum spatij descripti sed et decremento lineæ DC proportionale est incrementum lineæ AD. Ergo incrementum spatij per incrementum lineæ AD, at que adeo spatium ipsū per lineam illam rectè exponitur. Q. E. F.

Prob. 7. Posita uniformi vi centripeta, motum corporis in medio similari rectà ascendentis ac descendentis definire.

Corpore ascendente exponatur vis

centripeta per datum quod vis rectangulum BC et resistentia medij initio ascensus per rectangulum BD sumptum ad contrarias partes. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g et corpus ascendendo tempore DGgd describet spatium EGge, tempore DGBA spatium ascensus totius EGB, tempore AB2G2D spatium descensus Bg2G at que tempore 2D2G2g2d spatium descensus 2GEe2g: et celeritas corporis resistentiæ medij proportionalis, erit in horum temporum periodis ABED, ABed, nulla, ABE2D, ABe2d; at que maxima celeritas quam corpus descendendo potest acquirere erit Bd C

Resolvatur enim rectangulum

AH in rectangula imnumera Ak, Kl, Lm, Mn &c quæ sint ut incrementa celeritatum æqualibus totidem temporibus facta et erunt nihil, Ak, Al, Am, An &c ut celeritates totæ at que adeo a a a Hypo Lex 5 ut resistentiæ medij in fine principio singulorum temporum æqualium. Fiat AC ad AK, vel ABHC ad ABkK ut vis centripeta ad resistentiam in finè temporis secundi et erunt in principio de que vel initio de que vè centripeta subducantur resistentiæ et manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC &c ut vires absolutæ quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur at que adeo ut incrementa celeritatur, id est ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c & b b Lem. 3 proinde in progresione geometrica. Quare si rectæ Kk, Ll, Mm, Nn productæ occurrant Hyperbolæ in κ, λ, μ ν &c erunt areæ ABκK, KκλL, LλμM, MμνN &c æqualia (ob proportionales AK ad KL ut KC ad LC hoc est ut Lλ ad Kκ) erunt rectangula AKκ, KLλ, LMμ, MNν &c erunt areæ ABκK, KκλL, LλμM, MμνN &c æquales adeo que tum temporibus æqualibus tum viribus centripetis semper æqualibus analogæ. Subducantur rectangula Ak, KL, Lm, Mn &c viribus absolutis analoga et 53 relinquentur areæ Bkκ, kκλl, Lλμm, mμνn &c resistentijs medij in fine Est autem rectangulum areæ ABκK ad rectangulum aream Bkκ ut Kκ ad 1 2 kκ seu AC ad 1 2 AK hoc est ut vis centripeta ad resistentiam in fine medio temporis primi. Et simili argumento rectangula areæ κKLλ λLMμ, μMNν &c sunt ad rectangula areas κklλ, λlmμ, μmnν &c ut viram centripeta ad resistentias in fine medio temporis secundi tertij quanti &c. Proinde cum rectangula areæ æquales M AKκ, λLMμ, μMNν &c sint viribus centripetis analogæ, erunt rectangulæ areæ Bkκ, κklλ, λlmμ, μmnν &c resistentijs medij in medio singulorum temporum, hoc est celeritatibus at que adeo descriptis spatijs analog æ. Sumantur analogarum summæ et erunt areæ Bkκ, BLλ, Bmμ, Bnν &c spatijs totis descriptis analogæ nec non areæ ABκK, ABλL, ABμM, ABνN &c temporibus. Et hæ areæ ubis rectangula numero inscrita et infinite parva evadunt coincidunt cum Hyperbolicis Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis ABλL describit spatium BLλ, et tempore Lλμn spatium λlnν, Q. E. D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q. E. D.

Schol. Beneficio duorum novissimorum problematum innotescunt motus projectilium in aere nostro, ex hypothesi quod aer iste similaris sit quod que gravitas uniformiter & secundum lineas parallelas agat. Nam si motus omnis obliquus corporis projecti distinguatur in duos, unum ascensus vel descensus alterum progressus horizontalis: motus posterior determinabitur per problema sextum, prior per septimum ut fit in hoc diagrammate.

Ex loco quovis D ejaculetur corpus secundum lineam quamvis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem celeritas sub initio motus. A puncto P ad lineam horizontalem DC demittatur perpendiculum PC, ut et ad DP

perpendiculum Cg, ad quod sit DA ut est resistentia medij ipso motus initio ad vim gravitatis. Erigatur perpendiculum AB cujusvis longitudinis et completis parallælogrammis DABE, CABH, per punctum B asymptotis DC, CP describatum Hyperbola secans DE in G. Capiatur linea N ad EG ut est DC ad CP et ad rectæ DC punctum quodvis R erecto perpendiculo RT quod occurrat Hyperbolæ in T et rectæ EH in t, in eo cape Rr = DRtE − DRTBG N et projectile tempore DRTBG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DarFK quam punctū r semper tangit, perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, deinde incidens in lineam horizontalem DC ad F ubi areæ DFSE, DFSBG æquantur et postea semper appropinquas Asymptoton PCL. Est que celeritas ejus in puncto quovis r ut c Curvæ t Tangens rL.

Si proportio resistentiæ aeris ad vim gravitatis nondum innotescit: cognoscantur (ex observatione aliqua) anguli ADP, AFr in quibus curva DarFK secat lineam horizontalem DC. Super 54 Super DF constituatur rectangulum DFsE altitudinis cujusvis, ac describatur Hyperbola rectangula ea lege ut ejus una Asymptotos sit DF, ut areæ DFsE, DFSBG æquentur et ut sS sit ad EG sicut tangens anguli AFr ad tangentem anguli ADP. Ab hujus Hyperbolæ centro C ad rectam DP demitte perpendiculum CI ut et a puncto B ubi ea secat rectam Es, ad rectam DC, perpendiculum BA, et habetitur proportio quæsita DA ad CI, quæ est resistentiæ medij ipso motus initio ad gravitatem projectilis. Quæ omnia ex prædemonstratis facilì eruuntur. Sunt et alij modi inveniendi resistentiam aeres quos lubens prætereo. Postquam autem inventa est hæc resistentia in uno casu, capienda est ea in alijs quibusvis ut corporis celeritas et supericies sphærica conjunctim, (Nam projectile sphæricum esse passim suppono;) vis autem gravitatis innotescit ex pondere. Sic habebitur semper proportio resistentiæ ad gravitatem seu lineæ DA ad lineæm CI. Hac proportione et angulo ADP determinatur specie figura DarFK LP: et capiendo longitudinem DP proportionalem celeritati projectilis in loco D determinatur eadem magnitudine sic ut altitudo Aa maximæ altitudini projectilis et longitudo DF longitudini horizontali inter ascensum et easum projectilis semper sit proportionalis, at que adeo ex longitudine DF in agro semel mensurata semper determinet tum longitudinem illam DF tum alias omnes dimensiones figuræ DaFK quam projectile describit in agro. Sed in colligendis hisce dimensionibus usurpanda i sunt logarithmi pro area Hyperbolica DRTBG.

Eadem ratione determinantur etiam motus corporum gravitate vel levitate & vi quacun que simul et semel impressa moventium in aqua.

55 De motu corporum in gyrum.

Def. 1. Vim centripetam appello qua corpus impellitur vel attrahitur versus aliquod punctum quod ut centrum spectatur.

Def 2 Et vim corporis seu corpori insitam qua id conatur perseverare in motu suo secundum lineam rectam.

Hypoth 1 Corpora nec medio impediri nec alijs causis externis qua minus viribus insitæ et centripetæ exquisitæ cedant Resistentiam esse ut corporis celeritas et medij densitas conjunctim in proximis novem propositionibus nullam esse, in sequentibus esse ut corporis celeritas et medij densitas conjunctim.

Hypoth 2. Corpus omne sola vi insita uniformiter secundum rectam lineam in infinitum progredi nisi aliquid extrinsecus impeda iat.

Hypoth. 1. Resistentiam in proximis novem propositionibus nullam esse in sequentibus esse ut corporis celeritas et medij densitas conjunctim.

Def 3 Et resistentiam quæ est medij regulariter impedientis.

Hyp. 3. Corpus minibus in dato tempore viribus conjunctis eo ferri quo viribus divisis in temporibus æqualibus successivè. Hyp 4

Theorema 1. Gyrantia omnia radijs ad centrum ductis areas temporibus proportionales describere.

Dividatur tempus in partes æquales, et

prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte si nil impedireta a Hyp. 1. rectà pergeret ad C c describens lineam Bc æqualem ipsi AB adeo ut radijs AS, BS, cS ad centrum actis confectæ forent æquales areæ ASB, BSc. Verum ubi corpus venit ad B agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciat que corpus a recta Bc deflectere et pergere in recta BC. Ipsi BS parallela agatur cC occurrens BC in C et completa secunda temporis parte b b Hyp 3 b Lem. 1. corpus reperietur in C. Iunge SC et triangulum SBC ob parallelas SB, Cc æquale erit triangulo SBc atqu que adeo etiam triangulo SC AB. Simili argumento si vis centripeta successivè agat in C, D, E &c, faciens corpus singulis temporis momentis singulas describere rectas CD, DE, EF &c triangulum SBCD triangulo SBC et SDE ipsi SCD et SEF ipsi SDE æquale erit. Æqualibus igitur te mporibus æquales areæ describuntur. Sunto jam hæc triangula numero infinita et infinitè parva, sic, ut singulis temporis momentis singula respondeant triangula, agente vi centripeta sine intermissione, & constabit proposit io.

Theorem. 2. Corporibus in circumferentijs circulorum uniformiter gyrantibus vires centripetas esse ut celeritatum sive arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad radios circulorum.

Corpora B, b in circumferentijs

circulorum BD, bd gyrantia simul describant arcus BD, bd. Sola vi insita describerent tangentes BC, bc his arcubus æquales. Vires centripetæ sunt quæ perpetuò retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias, atq que adeo hæ sunt ad invicem ut spatia ipsis superata CD, cd, id est productis CD, cd ad F et f ut BC quad CF ad bc quad cf sive ut BD quad. 1 2 CF ad bd quad. 1 2 cf . Loquor de spatijs BD, bd minutissimis inq que infinitum diminuendis sic ut pro 1 2 CF , 1 2 cf scribere liceat AB,Cd circulorum radios SB, sb. Quo facto constat Propositio.

56

Cor 1. Hinc vires centripetæ sunt ut celeritatum quadrata applicata ad radios circulorum

Cor 2 Et reciprocè ut quadrata temporum periodicorum applicata ad radios.

Cor 3 Vnde si quadrata temporum periodicorum sunt ut radij circulorum vires centripetæ sunt æquales. Et vice versa

Cor 4 Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum vires centripetæ sunt reciprocè ut radij. Et vice versa

Cor 5 Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum vires centripetæ sunt reciprocè ut quadrata radiorum. Et sic deinceps vice versa.

Schol. Casus Corollarij quinti obtinet in corporibus cœlestibus. Quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi distantiarum a communi centro circum quod volvuntur. Id obtinere in Planetis majoribus circa Solem gyrantibus in que minoribus circa Iovem et Saturnum jam statuunt Astronomi. V

Theor. 3. Si corpus P circa centrum S gyrando, describat lineam quamvis curvam APQ, et si tangat recta

PR curvam illam in puncto quovis P et ad tangentem ab alio quovis curvæ puncto Q agatur QR distantiæ SP parallela ac demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: dico quod punctis vis centripeta sit reciprocè ut solidum SP quad. × QT quad. QR , si modò solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimò fit ubi coeunt puncta P et Q.

Namq que in figura indefinitè parva QRPT lineola QR dato tempore est ut vis centripeta et data vi uta a Hyp 1 a Lem. 2 quadratum temporis atq que adeo neutro dato ut quadratum t vis centripeta et quadratum temporis conjunctim, id est ut vis centripeta semel et area SQP tempori proportiol nalis (seu vel duplum ejus SP × QT ) bis. Applicetur hujus proportionalitatis pars utraq que ad lineolam QR et fiet unitas ut vis centripeta et SP q × QT q QR conjunctim, hoc est vis centripeta ut reciprocè ut SP q × QT q QR . Q. E. D.

Corol. Hinc si detur figura quævis et in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur, inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrare faciat. Nimirum computandum est solidum SP q × QT q QR huic vi reciprocè proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.

Prob. 1. Gyrat corpus in circumferentia circuli requiritur lex gravitatis vis centripetæ tendentis ad punct ū um aliquod in circumferentia.

Esto circuli circumferentia SQPA, centrum

gravitatis vis centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad SA diametrum et SP demitte perpendicula PK QT et per Q ipsi SP agatur parallelam aga e tur LR occurrentem circulo in L et tangenti PR in R, et coeant TQ, PR in Z. Ob similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA. Erit RPq (hoc est QRL) ad QTq ut SAq. Ergo QRL × SP q SA q = QT q . Ducantur hæc æqualia in SP q QR et punctis P et Q coeuntibus scribatur SP pro RL. Sic fiet SP qc SA q = QT q × SP q QR . Ergo gravitas vis centripeta reciproce est ut SP qc SA q , id est (ob datum SAq) ut quadraton cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.

Schol. Cæterum in hoc casu et similibus concipiendum est quod postquam 57 postquam corpus pervenit ad centrum S, id non amplius redibit in orbem sed abibit in tangente. In spirali quæ secat radios omnes in dato angulo vis centripeta tendens ad Spiralis principium est in ratione triplicata distantiæ reciprocè, sed in principio illo recta nulla positione determinata spiralem tangit.

Prob 2. Gyrat corpus in Ellipsi veterum: requisitur lex gravitati vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos.

Sunto CA, CB semi–axes Ellipseos, GP, DK

diametri conjugatæ, PF, Qt perpendicula ad diametros QV ordinatim applicata ad diametrum GP et QVPR parallelogrammum. His constructis erit (ex Conicis) PVG ad QVq ut PCq ad CDq et QVq ad QT t q ut PCq ad PFq et conjunctis rationibus PVG ad QT t q ut PCq ad CDq et PCq ad PFq, id est VG ad Qt q PV ut PCq ad CD q × PF q PC q . Scribe QR pro PV a a Per Lem:4.et BC × CA pro CD × PF , nec non (punctis P et Q coeuntibus) 2PC pro VG et ductis extremis et medijs in se mutuò, fiet Qt q × PC q QR = 2BC q × CA q PC . Est ergo vis centripeta reciprocè ut 2BC q × CA q PC id est (ob datum 2BC q × CA q ) ut 1 PC , hoc est directè, ut distantia PC Q. E. I.

Prob. 3. Gyrat corpus in ellipsi: requiritur lex gravitatis vis centripetæ tendentis ad umbilicum Ellipseos.

Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellipseos diametrum DK in E. Patet EP æqualem esse semi–axi majori AC eò, quod actâ ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob æquales CS, CH æquentur ES, EI, adeo ut EP semisumma sit ipsarum PS, PI id est (ob parallelas HI, PR & æquales angulos æquales IPR, HPZ) ipsarum PS, PH quæ conjunctim axem totum 2AC adæquant. A d SP demittatur perpendicularis QT. Et Ellipseos latere recto principali (seu 2BC q AC ) dicto L, erit L × QR ad L × PV ut QR ad PV id est ut PE (seu AC) ad PC. et L × PV ad GVP ut L ad GV et GVP ad QVq ut CPq ad CDq et QVq ad QXq puta ut M ad N et QXq ad QTq ut EPq ad PFq id est ut CAq ad PFq sive a a Per Lem. 4. ut CDq ad CBq. et conjunctis his omnibus rationibus, L × QR ad QTq ut AC ad PC + L ad GV + CP q ad CD q + M ad N + CD q ad CBq, id est ut AC × L (seu 2BC q ) ad PC × GV + CP q ad CB q + M ad N, sive ut 2PC ad GV + M ad N. Sed punctis Q et P coeuntibus rationes 2PC ad GV et M ad N fiunt æqualitatis: Ergo et ex his composita ratio L × QR ad QTq. Ducatur pars utra que in SP q QR et fiet L × SP q = SP q × QT q QR . Ergo gravitas vis centripeta reciprocè est ut L × SP q id est in ratione duplicata distantiæ SP. Q. E. I.

Cor Punctis P et Q coeu

Schol. Gyrant ergo Planetæ majores in ellipsibus habentibus umbilicum in centro solis, et radijs ad Solem ductis describunt areas temporibus proportionales, omninò ut supposuit Keplerus. Et harum Ellipseon latera recta sunt QT q QR , existentibus figuris QTPR punctis P et Q spatio quàm minimo et quasi infinitè parvo distantibus.

Theorem. 4

Theorem. 4 Posito quod vis centripeta sit reciprocè proportionalis quadrato distantiæ a centro, quadrata temporum periodicorum in Ellipsibus sunt ut cubi transversorum axium.

Sunto Ellipseos umbilici S, H centrum C,

axis transversus AB, tangens ad verticem PR axis alter R PD latus rectum L, umbilicus alteruter S. Centro S radio intervallo SP describatur circulus PMD. Et eodem tempore describant corpora duo gyrantia arcum Ellipticum PQ et circulorem PM, vi centripeta ad umbilicum S tendente. Ipsis P Ellipsis et circulum tangant PR, PN in puncto P. Ipsi PS agantur parallelæ QR, MN tangentibus occurrentes in R et N. Sint autem figuræ PQR, TV PMN indefinitè parvæ sic ut (per schol. Theorem Prob. 3) fiat L × QR = QT q et 2SP × MN = MV q . Ob communem a centro S distantiam SP et inde æquales vires centripetas sunt MN et QR æquales. Ergo QTq ad MVq est ut L ad 2 SP, et QT ad MV ut medium proportionale inter L et 2SP seu PD ad 2SP. Hoc est area SPQ ad aream SPM ut area tota Ellipseos ad aream totam circuli. Sed partes arearum singulis momentis genitæ sunt ut areæ SPQ et SPM at que adeo ut areæ totæ et proinde per numerum momentorum multiplicatæ simul evadent totis æquales. Revolutiones igitur eodem tempore in ellipsibus perficiuntur ac in circulis quorum diametri sunt axibus transversis Ellipseon æquales. Sed (per Prop Cor. 5 Theor 2) quadrata temporum periodicorum in circulis sunt ut cubi diametrorum. Ergo et in Ellipsibus. Q. E. D.

Schol. Hinc in Systemate cœlesti ex temporibus periodicis Planetarum innotescunt proportiones transversorum axium Orbitarum. Axem unum licebit assumere. Inde dabuntur cæteri. Datis autem axibus determinabuntur Orbitæ in hunc modum. Sit S locus Solis seu Ellipseos umbilicus

unus A, B, C, D loca Planetæ observatione inventa et Q axis transversus Ellipseos. Centro A radio Q — AS describatur circulus FG et erit ellipseos umbilicus alter in in hujus circumferentia. Centris B, C, D, &c intervallis Q — BS , Q — CS , Q — DS &c describantur itidem alij quotcun que circuli & erit umbilicus ille alter in omnium circumferentijs at que adeo in omni ū um intersectione communi F. Si intersectiones omnes non coincidunt, sumendum erit punctum medium pro umbilico. Praxis hujus commoditas est quod ad unam conclusionem eliciendam adhiberi possint et inter se expeditè comparari observationes quamplurimæ. Planetæ autem loca singula A, B, C, D &c ex binis observationibus, cognito Telluris orbe magno invenire docuit Halleus. Si orbis illa magnus nondum satis exactè determinatus habetur, ex eo propè cognito, determinabitur orbita Planetæ alicujus puta Mart e is propius. Deinde ex orbita Martis Planetæ 59 Planetæ per eandem methodum determinabitur orbita telluris adhuc propius: Tum ex orbita Telluris determinabitur orbita Planetæ multò exactiùs quam priùs: Et sic per vices donec circulorum intersectiones in f umbilico orbitæ utrius que exactè satis conveniant.

Hac methodo determinare licet orbitas Telluris, Martis, Iovis et Saturni, Orbitas autem Veneris et Mercurij sic. Observationibus in maxima Planetarum a Sole digressione factis, habentur Orbitarum tangentes. Ad ejusmodis tangentem KL demittatur a Sole perpendiculum SL centro que L et

intervallo dim ij idij axis Ellipseos describatur circulus KM. Erit centrum Ellipseos in hujus circumferentia, adeo que descriptis hujusmodi pluribus circulis reperietur in omnium intersectione. Tm , c Cognitis tandem orbitarum dimensionibus, longitudines horum Planetarum postmodum exactiùs ex transitu suo per discum Solis determinabuntur.

Prob 4 Posito quod vis centripeta sit reciprocè proportionalis quadrato distantiæ a centro, et cognita vis illius quantitate; requisitur Ellipsis quam corpus describet de loco dato cum data celeritate secundum datam rectam emissum.

Vis centripeta tendens ad punctum S ea sit quæ corpus ω in circulo πχ centro S intervallo quovis S ω descripto gyrare faciat. De loco P secundum lineam PR

emittatur corpus P ea celeritate quæ sit ad celeritatem uniformen corporis ω ut recta quævis PR ad rectam quamvis ω ρ et mox inde cogente vi centripeta deflectat in Ellipsin PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta πρ circulum in ω sit que PR ad ω ρ ut prima celeritas corporis emissi P ad uniformem celeritatem corporis ω . Ipsis SP et S ω parallelæ agantur RQ et ρχ hæc circulo in χ illa Ellipsi in Q occurrens, et a Q et χ ad SP et ρ ω demittantur perpendicula QT et χτ. Est RQ ad ρχ ut vis centripeta in P ad vim centripetam in ω id est ut S ω quad. ad SPquad., adeo que datur illa ratio. Datur etiam ratio QT ad RP et ratio RP ad ρ ω seu χτ et inde composita ratio QT ad χτ. De hac ratione duplicata auferatúr auferatur ratio data QR ad χρ et dabitur ratio manebit data ratio QT q QR ad χτ q χρ , id est (per Schol. Prob. 3) ratio lateris recti El ad latus transversum Ellipseos ad diametrum circuli. Datur adeo que d Datur igitur r latus rectum Ellipseos. Sit istud L. Datur præterea Ellipseos umbilicus S. Anguli RPS complement ū um ad duos rectos fiat angulus RPH et dabitur positione linea PH in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpendiculo SK et erecto semiaxe minore BC est SP q — 2 KPH + PH q = SH q = 4 BH q − 4 BC q = SP + PH ¯ quad. − L × SP + PH ¯ = SP q + 2 SPH + PH q − L × SP + PH ¯ . Addantur utrobi que 2 KPH + L × SP + PH − SP q − PH q et fiet L × SP + PH ¯ = 2 SPH + 2 KPH , seu SP + PH ad PH ut 60 ut 2 SP + 2 KP ad L. Vnde datur ub mbilicus alter H. Datis autem umbilicis una cum axe transverso SP + PH , datur Ellipsis. Q. E.I.

Hæc ita se habent ubi figura Ellipsis est. Fieri enim potest ut corpus moveat in Parabola vel Hyperbola. Nimirum si tanta est corporis celeritas ut sit L latus rectum L æquale 2 SP + 2 KP , Figura erit Parabola umbilicum habens in puncto S et diametros omnes parallelas lineæ PH. Sin corpus majori adhuc celeritate emittitur movebi tur id in Hyperbola habente umbilicum unum in puncto S alterum in puncto H sumpto ad contrarias partes puncti P et axem transversum æqualem differentiæ inter linea m r ū um PS et P H.

Schol. Iam verò beneficio hujus Problematis soluti, Pla Co n metarum orbitas definire concessum est, et inde revolutionum tempora, et ex orbitarum magnitudine, excentricitate, Aphelijs, inclinationibus ad planum Eclipticæ et nodis inter se collatis cognoscere an idem Cometa ad nos sæpius redeat. Nimirum ex quator observationibus locorum Cometæ, juxta Hypothesin quod Cometa movetur uniformiter in linea recta, determinanda est ejus via rectilinea. Sit ea APBD, sint que A, P, B, D loca cometæ in via illa temporibus observationum, et S locus solis. Ea celeritate qua Cometa uniformiter percurrit

rectam AD finge ipsum emitti de locorum suorum aliquo P et vi centripeta mox correptum deflectere in Ellipsi a recto tramite in Ellipsin et abire in Ellipsi Pbda. Hæc Ellipsis determinanda est ut in superiore Problemate. In ea sunto a, P, b, d loca c Cometæ temporibus observationum. Cognoscantur horum locorum e terræ longitudines et latitudines. Quanto majores vel minores sunt his longitudines et latitudines observatæ tantò majores vel minores observatis sumantur longitudines et latitudines novæ. Ex his novis inveniatur denuò via rectilinea cometæ et inde via Elliptica ut priùs. Et loca quatuor nova in via Elliptica prioribus erroribus aucta vel diminuta jam congruent cum observationibus exactè satis. Aut si fortè errores etiamnum sensibiles manserint potest opus totum repeti. Et nè computa Astronomos molestè habeant suffecerit hæc omnia per praxin Geometricam descriptionem linearum determinare.

Sed areas aSP, PSb, bSd temporibus proportionales assignare difficile est. Super Ellipseos

axe majore EG describatur semicirculus EHG. Sumatur angulus ECH tempori proportionalis. Agatur SH ei que parallela CK circulo occurrens in K. Iungatur HK et circuli segmento HKM 61 HKM (per tabulam segmentorum vel secus) æquale fiat triangulum SKN. Ad EG demitte perpendiculum NQ, et in eo cape PQ ad NQ ut Ellipseos axis minor ad axem majorem et erit punctum P in Ellipsi at que acta recta SP abscindetur area Ellipseos EPS tempori proportionalis. Nam que area HSNM triangulo SNK aucta et huic æquali segmento HKM diminuta fit triangulo HSK id est triangulo HSC æquale. Hæc æqualia adde areæ ESH, fient areæ æquales EHNS et EHC. Cùm igitur Sector EHC tempori proportionalis sit et area EPS areæ EHNS, erit etiam area EP tempori proportionalis.

Prob. 5. Posito quod gravitas vis centripeta sit reciprocè proportionalis dis quadrato distantiæ a centro terræ , spatia definire quæ gravia corpus recta cadendo datis temporibus describunt it.

Si grave corpus non cadit perpendiculariter describet id Ellipsin puta APB cujus umbilicus inferior puta S congruet cum centro terræ. Id ex jam demonstratis constat. Super

ellipseos axe majore AB describatur semicirculus ADB et per grave corpus decidens cadet transeat recta DPC perpendicularis ad axem, actis que DS, PS, erit area ASD areæ ASP at que adeò etiam tempori proportionalis. Manente axe AB minuatur perpetuò latitudo Ellipseos, et semper manebit area AS P D tempori proportionalis. Minuatur axes latitudo illa in infinitum et Orbita APB jam coincidente cum axe AB et umbilico S cum axis termino B descendet grave corpus in recta AC et area ABD evadet tempori proportionalis. Definietur ita que spatium AC quod grave corpus de loco A perpendiculariter cadendo tempore dato describit si modò tempori proportionalis capiatur area ABD et a puncto D ad rectam AB demittatur perpendicularis DC. Q. E. F.

Schol. Pr o iore Problemate definiuntur motus gravium projectilium, in aere nostro hacce motus gravium perpendiculariter cadentium posites ex Hypothesi quod gravitas reciprocè porportionalis sit quadrato distantiæ a centro terræ quod que medium aeris nihil resistat. Sequentibus consideratur resistentia medij similaris et gravitas uniformis consideratur. Nam primùm abs que gravitate dein cum gravitate Nam gravitas est species una vis centripetæ. species una est gravitas.

Prob. 6 Corporis sola vi insita per medium similare resistens delati motum definire.

Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur

Hyperbola secans perpendicula AB, DG in B, G. Exponatur tum corporis celeritas tum resistentia medij ipso motus initio per lineam datam quamvis datam AC elapso tempore aliquo per lineam DC et tempus exponi potest per aream ABGD at que spatium eo tempore descriptum per : lineam AD. Nam celeritati proportionalis est resistentia medij et resistentiæ proportionale est decrementum celeritatis, hoc est, si tempus in partes æquales dividatur, celeritates ipsarum initijs sunt differentijs suis proportionales. Decrescit ergo celeritas in a a Lem proportione Geometrica dum tempus crescit in Arithmetica. Sed tale est decrementum lineæ DC et incrementum areæ ABGD, ut notum est. Ergo tempus per aream et celeritas per lineam illam rectè exponitur. Q. E. D. Porrò celeritati at que adeo decremento celeritatis proportionale est incrementum spatij descripti sed et decremento lineæ DC proportionale est incrementum lineæ AD. Ergo incrementum spatij per incrementum lineæ AD, at que adeo spatium ipsum per lineam 62 lineam illam rectè exponitur. Q. E. D.

Prob 7. Posita uniformi vi centripeta, motum corporis in medio similari rectà ascendentis ac descendentis exponere definire.

Corpore ascendente exponatur vis centripeta

per datum quodvis rectangulum BC et resistentia medij initio ascensus per rectangulum BD sumptum ad contrarias partes. Asymptotis rectangulis AC, CH, secans per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g et corpus ascendendo tempore DGgd describet spatium EGge, tempore DGBA spatium ascensus totius EGB, tempore AB2G2D spatium descensus BE2G at que tempore 2D2G2g2d spatium descensus 2GEe2g: Et celeritas corporis resistentiæ medij proportionalis, erit in horum temporum periodis B A DE B A de, nihil B A 2DE B A 2de, at que maxima celeritas quàm corpus descendendo potest acquirere erit BC. B ABED, ABed, nulla, ABE2D, ABe2d; at que maxima celeritas quam corpus descendendo potest acquirere erit BC.

Resolvatur enim parallelogrammum rectangulum AH

in rectangula innum innumera Ak, Kl, Lm, Mn &c quæ sint ut incrementa celeritatum æqualibus totidem temporibus facta et erunt Ak, Al, Am, An &c ut celeritates totæ at que adeo a a Hyp ut resistentiæ medij in fine singulorum temporum æqualium. Fiat AC ad AK, vel ABHC ad ABkK ut vis centripeta ad resistentiam in fine temporis primi et erunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC &c ut vires absolutæ quibus corpus urgetur at que adeo ut incrementa celeritatum, id est ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c & b b Lem.proinde in progressione geometrica. Quare si rectæ Kk, Ll, Mm, Nn productæ occurrant Hyperbolæ in κ, λ, μ, ν &c erunt areæ ABκK,KκλL, LλμM, MμνN &c æquales, adeo que tum temporibus æqualibus tum viribus centripetis semper æqualibus analogæ. Subducantur rectangula Ak, Kl, L m, Mn &c viribus absolutis analoga et relinquentur areæ Bkκ, kκλl, lλμm, mμνn &c resistentijs medij in fine singulorum temporum, hoc est celeritatibus at que adeo descriptis spatijs analogæ. Sumantur analogarum summæ et erunt areæ Bkκ, Blλ, Bmμ, Bnν &c spatijs totis descriptis analogæ, nec non areæ ABκK, ABλL, ABμM, ABνN &c temporibus. Q. E. D. Corpus igitur inter descendendum tempore quovis ABλL describit spatium Blλ et tempore Lλ μ ν M N spatium λlνN λlnν Q. E. D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q. E. D.

Schol. Beneficio duorum novissimorum problematum innotescunt motus projectilium in aëre nostro, ex hypothesi quod aer iste similaris sit quod que gravitas uniformiter & secundum lineas parallelas agat. Nam si motus omnis obliquus corporis projecti distinguatur in duos, unum ascensus vel descensus alterum progressus horizontalis: motus posterior determinabitur per Problema sextum, prior per septimum ut fit in hoc diagrammate.

Ex loco quovis D ejaculetur corpus secundum lineam quamvis rectam DP, sit que & per longitudinem DP exponatur celeritas per corporis ejusdem celeritas sub initio motus. A puncto P ad lineam horizontalem DC demittatur 62* demittatur perpendiculum PC, . Ad ut et ad DP erigatur

perpendiculum Cg, ad quod sit DA ut est resistentia medij ipso motus initio ad vim gravitatis. Erigatur perpendiculum AB cujusvis longitudinis et completis parallelogrammis DABE, CABH, per punctum B asymptotis DC CP describatur Hyperbola secans DE in G. Capiatur linea N ad EG ut est DC ad CP et ad rectæ DC punctum quodvis R erecto perpendiculo RtT quod occurrat Hyperbolæ in T et rectæ EH in t, in eo cape Rr = DRtE − DRTBG N et projectile tempore DRTBG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DarFK quam punctum r semper tangit, perveniens autem ad maximam altitudinem a in in perpendiculo AB, deinde incidens in lineam horizontalem DC ad F ubi areæ DFsE, DFSBG æquantur et postea semper appropinquans Asymptoton P CL. Est que celeritas ejus in puncto quovis r ut curvæ tangens rL.

Si proportio resistentiæ aeris ad vim gravitatis nondum innotescit: cognoscantur (ex observatione aliqua) anguli ADP, AFr in quibus curva DarFK secat lineam horizontalem DC. Super DF constituatur rectangulum DFsE altitudinis cujusvis, ac describatur Hyperbola rectangula ea lege ut ejus una Asymptotos sit DF, ut areæ DFsE, DFSBG æquentur et ut sS sit ad EG sicut tangens anguli AFr ad tangentem anguli ADP. Ab hujus Hyperbolæ centro C ad rectam DP demitte perpendiculum cI ut et a puncto B ubi ea secat rectam Es, ad rectam DC perpendiculum BA, et habebitur proportio quæsita DA ad CI, quæ est resistentiæ medij ipso motus initio ad in gravitatem projectilis. Quæ omnia ex prædemonstratis facilè eruuntur. Sunt et alij modi inveniendi resistentiam aeris quos lubens prætereo. Postquam autem inventa h est hæc resistentia in uno casu, capienda est ea in alijs quibusvis ut corporis celeritas et superficies sphærica conjunctim, (Nam projectile sphæricum esse passim suppono;) vis autem gravitatis innotescit ex pondere. Sic habebitur semper proportio resistentiæ ad gravitatem seu lineæ DA ad lineam CI. Hac proportione et angulo ADP determinatur specie figura DarFKLP: et capiendo longitudinem DP proportionalem celeritati projectilis in loco D determinatur eadem magnitudine sic ut altitudo Aa al maximæ altitudini projectilis et longitudo DF longitudini inter horizontali inter ascensum et casum projectilis semper sit proportionalis, at que adeò ex longitudine DF in agro semel emen mensurata semper determinet tum agro tum longitudinem illam DF tum alias omnes dimensiones figuræ DarFK quam projectile describit in agro. Sed in colligendis hisce dimensionibus usurpandi sunt logarithmi pro area Hyperbolica DRTBG.

Eadem ratione determinantur etiam motus corporum gravitate vel levitate & vi quacun que simul et semel impressa moventium in aqua

To Sr. Sir Isaac Newton Kn.t Knight

Sr. Sir 24 March 11 12

M.r Peyton desires that you would please (if the Same be not too much trouble) to draw up a report upon m.r Williams's Project, that the same may be ready to be signed at the Mint on Wednesday next, for m.r Williams hath already acquainted m.r Payton that he will not then attend. With all respect I am. Your most Obedt. Servt Obedient Servant John Anstis.

357 Scholium Generale.

② Projectilia in aere nostro resistentiam parvam sentiunt. In spatijs aere vacuis quali m a f vacuo Torricelliana resistentia illa cessant & corpora eadem velocitate aurum & pluma d cadunt ere deprehenduntur. Si Boyliano nullam ut ex ut ex corporibus cadentibus colligitur. Et multo magis in cœlos Et multo magni In cœlo is supra atmospheram Terræ ascendatur resistentia aeris ut aer cessabit, & cessat etiam cessaret aeris resistentia & corpora non minus liberrime move bunturi ri debent in vacuo prædicto & motus suos diutissime conservaba re nt Additur [gravitas in solem materiæ gravitum æqualiter distantium a Sole proportionalem & in recessu corporum a Sole reciproce quadratis distantiarum reciproce proportionalem I ideo que legibus gravitatis obequentur ideo que & orbes in quibus incipiunt movere perpetuo describent. Nam et ex motibus Cometarum valde excentricis & in omnes partes demonstratur corpora cœlestia liberrime sub in omnes partes liberrime moveri. Et corpora omnia cœlestia seu Planetarum et Lunarum seu Cometarum motus suos semel inceptos diutissime conservabut conservabunt . At motus ille sub initio ex causis mere mare mechanicis sub initio oriri non potuerus. ③ Revolvuntur Planetæ sex principales circum Solem in eodem in e o a de circulis soli concentris eodem ordine in eodem plano. ⑤ Re volvolvuntur decem Lunæ circum Terram Iovem et Saturn ū um in circulis concentricis eodem ordine in planis orbium Terræ Iovis et Saturni. Et hi motus regulares ex causis mechanicis consequuntur non sunt orti pt , siquidem Cometæ in Orbibus valde excentricis in omnes cœlorum partes libere fevantur, [Ex consilio solo Entis alicujus intelligentis oriri potuit hæc elegantissima Solis et Planetarum faa compages Proinde que causæ finales in Philosophia naturali l haben Et] et Planetæ similibus motibus errata potuissent simin paces Ex consilio & dominio solo Entis intelligentis & potentis oriri potuit elegantissima hæcce Solis et Planetarum compages. Et si stellæ fixæ sunt centra similium systematum, susu subsunt hæc omnia unius dominio. Hic omnia regit non ut animæ mundi sed ut naturæ Deu Dei Deo universorum Dominus. Omnipræsens est et in ipso continentur & moventur universa id que sine resistentia cum corporeus non corporeus ne que & sit ens non corporeus ne que corpore vestiatur.

4 Cæterum causam gravitatis nondum exposui ne que exponend ā am suscepi siquidem ex phænomenis colligere nondum potui enim. Non oritur ex vi centrifuga vorticis alicujus siquidem non tendat tenduit non ad axem vorticis sed ad centrum Planetæ. ① Hypothesis vorticum multis premitur difficultatibus. Vt Planetarum tempora periodica sint in proportione sesquialtera distantiarum a Sole, per tempora periodica partium vorticis deberent esse in eadem proportione distantiarum. Vt Planeta unusquis que radio ad solem ducto areas describat tempori proportionales, tempora periodica partium vorticis deberent esse proportione reciproca distantiarum a Sole. Vt vortices Lunarum tranquille conserventur et tranquille natent in vorticibus primarijs tempora periodica partium vorticis primarij debent esse æqual ia . Revolution um es corporum Solis et ut Planetarum cum his omnibus hypothesibus dicere paulo Motus Planeta Cometarum sunt summe regulares & easdem leges cum Planetarum motibus observant Et per vortices explicari nequeunt: in a o at cum vorticum motibus sæpe contrarij sunt & sæpe t omnimo discrepant & ijsdem sæpe contrarij sunt

5 Causa mechanica ag i nt in superficies particularum corpores et ejus actio cæteris paribus est at summa superficies in quas ag i nt: gravitas est ut quantitas materiæ in corpore gravi.

Oritur ex causa aliqua quæ penetrat ad us que centra solis et Planetarum sine viritutis virtutis diminutione quæ que non agit non in in solas superficies particularum sed in omnem materiam us que ad centrum siquidem actio ejus quantitati materiæ in corporibus universis proportionalis est, Oritur ex sensum qua singulæ corporum particulæ agunt quæ que agit ad immensas distantias de virtute descrescente in duplicata ratione distantiæ a rum reciproce. Nam vis solis componitur ex viribus omnium particularum ejus & vires particularum hac lege omnium hac lege propagatur per omnes Planetarum orbes ut ex quiete Apheliorum Planetarum colligitur. Ex phænomenis naturæ certissimus m est gravitatem dari et secun in omnia corpora secundum leges bis in superioribus descriptus pro ratione distantiarum agere, et ad motus omnes Planetarum et Cometarum sufficere, adeo que legem esse naturæ sed quamvis causa m legis hujus ex phænomenis nondum colligere licuit. Nam hypotheses seu metaphysicas seu physicas, seu mechanicas seu metaphysicas seu qualitatum occultarum fugient præjudicia fugio. Præjudicia sunt et scientiam non pariunt.

Quemadmodum systema Solis Planetærum & Cometarum viribus gravitatis agitatur & partes ejus in motibus suis perseverat, sic etiam minora corporum systemata viribus alijs agitari videntur & eorum particulæ inter se diversimode moveri, & maximè vi electrica. Nam Si vit e u m duo duo particulæ corporum plurimorum vi electrica præditæ videntur & in se mutuò ad pavas parvas distantias agere etiam abs que frictione, et quæ maxime electrica sunt, spiritum quendam per frictionem ad magnas distantias quo co emittunt et quo corpor festucas & corpora levia nunc attrahunt nunc fugant nunc agitant diversimode.

Si vitra duo plana et polita & quamproxime contigua p superficiebus parallelis in aquam stagnantem immergantur: aqua inter vitra ascendet supra superficiem aquæ stagnantis & altitudo ascensus erit reciproce ut intervall u a m distantia vitrorum. Et hoc experimentum succeedit in vacuo Boyliano ideo que a gravitate ap atmosphæræ incumbentis non pendet. Partes vitri ad superficiem aquæ ascendentis attrahit aquam ipsis proximan & inferiorem & ascendere facit. Attractio eadem est in varijs distantijs vitrorum & idem pondus aquæ attollit, ideo que aquam eo altius ascendere facit quo minor est distantia vitrorum Et simili de causa aqua ascendit in tubulis tenuibus vitreis id que eo altius quo tenuiores sunt tubulæ, et ut et liquores omnes ascendunt in substantijs spongiosis.

S Vitra duo pl e a na et polita longitudine viginti digitorum latitudine parabantur. Horum alterum horizonti parallel ū um statuebatur jacebat, & ad unum ejus terminum gutta erat olei malorum citriorum. Alterum priori sic imponebatur ut vitra ad alterum eorum extremum se mutuo contingerent, ad alterum vero ubi gutta jacebat, a se invicem distarent intervallo quasi decimæ sextæ partis digiti, & vitrum superius contingeret guttam. Quo facto gutta statim incipiebat moveri versus concursum vitrorum. Et quo propius accedebat ad concursum vitrorum eo velocius movebatur. Successit etiam hoc experimentum in vacuo. Et ortus est hic motus ab attractione vitiorum.

Si vitra ad concursum suum paululum attollerentur ut vitrum inferius inclinaretur ad horizontem & vitrum superius gutta ascenderet, & vitrum superius positionem suam ad vitrum inferius servaret: gutta tardius ascen ascendendo tardius movebitur quam prius & quo major esset vitri inferioris inclinatio eo tardior 358 tardior erat motus guttæ donec gutta quiescebret, pondere ejus attractionem vitrum æquante vitrorum æquante. Sic ex inclinatione vitri inferioris dabatur pondus guttæ et ex pondere guttæ dabatur attractio vitrorum. Inclinationes autem vitri inferioris quibus qutta stabat in equilibrio & pro ejus distantij æ guttæ a concursu vitrorum exhibentur in Tabula sequente.

The Czar 6. for himself & ye the principal Libraries in Muscovy. The Abby Bignon eight for himself, the young Monsr Monsieur Cassini, De la Hire, Maraldi Varignon, & the Libraries of the Academy & the Observatory & the King. The Vniversity Library in C ā am bridge & the libraries of Trinity St Iohns Kings & Queens. The Vniversity Library in Oxford, & the Libraries of Christ Church &c. The four Professors of Math. The libraries of the Duke of Tuscany, Venice, the Duke of Savoy the Kings of Denmark & Prussia, the Elector of Hanover, the Vniversities of the Low countries vizt Vtrecht, Leiden, Vtrecht, Franeker, Gr o ö eningen besides the Princes friends at home.

The Vniversities of France at Paris, Toulouse, Burdeaux, Poictiers, Orleans, Montpellier, Rhemes, Douay, Avignon, Lyons, Aix The kings Library & the library of the Academy.

In Germany at Vienna, Liege Leipsic Prague Mentz Collogn Triers.

In Switzerland the public Librarys of Zuric, Bern, & Basil.

In Millain the publick library. In Turin the Duke of Savoys library. The publick library at Venice. The Vniversity of Vpsal in Sweden.

Mr Taylor, Mr Machin. The two Professors at Cambridge the two at Oxford the two at Edinburgh & St Andrews. Abby Bignon, young Monsr Monsieur Cassini, De la Hire, Maraldi, & Varignion Feuillée at Paris. Mr Bournoulli at Bazil, Mr Leibnitz, Count Herberstein at the Emperors Court.

Ceres the contemporary of Cadmus. Imo h

359 Scholium generale.

Hypothesis Vorticum multis premitur difficultatibus. Vt Planeta unusquis que radio ad Solem ducto areas describat tempori proportionales, tempora periodica partium Vorticis deberent esse in duplicata ratione distantiarum a Sole. Vt periodica Planetarum tempora sint in proportione sesquiplicata distantiarum a Sole, tempora periodica partium Vortice is deberent esse in eadem distantiarum proportione. Vt Vortices minores circum Saturnum Iovem & alios Planetas gyrati conserventur & tranquille natent in Vortice Solis, tempora periodica partium Vorticis Solaris deberent esse æqualia. Revolutiones Solis & Planetarum circum axes suos, ab omnibus hisce proportionibus discrepant. Motus Cometarum sunt summe regulares et easdem leges cum Planetarum motibus observant, et per Vortices explicari nequeunt. Feruntur Cometæ motibus valde excentricis in omnes cœlorum partes; quod fieri non potest nisi Vortices tollantur.

Projectilia in aere nostro solam aeris resistentiam sentiunt. Sublato aere, ut fit in vacuo Boyliano, resistentia cessat, siquidem pluma tenuis & aurum solidum æquali cum velocitate in hoc vacuo cadunt. Et par est ratio spatiorum cœlestium quæ sunt supra atmosphæram Terræ. Corpora omnia in h istis spatijs liberrime moveri debent, et propterea Planetæ et Cometæ in orbibus specie et positione datis secundum leges supra expositas perpetuo revolvi. Perseverabunt quidem in orbibus suis per leges gravitatis, sed regular em orbium situm primitus acquirere per leges hasce minime potuerunt.

Planetæ sex principales revolvuntur circum Solem in circulis Soli concentricis eadem motus directione in eodem plano quamproxime. Lunæ decem revolvuntur circum Terram Iovem et Saturnum in circulis concentricis eadem mod tus directione in planis Orbium Planetarum quamproxime. Et hi omnes motus regulares originem non habent ex causis mechanicis, siquidem Cometæ in Orbibus valde excentricis & in omnes cœlorum partes libere feruntur. Non nisi Consilio et dominio solo Entis intelligentis et potentis, elegantissima hæcce Solis et Planetarum compages oriri potuit. Et si stellæ fixæ sint centra similium systematum, hæc omnia simili consilio constructa, suberunt Vnius dominio: præsertim cum lux fixarum sit ejusdem naturæ ac lux Solis, & systemata omnia lucem in omnia invicem immittant.

Hic omnia regit non ut anima mundi sed ut universorum Dominus, et propter dominium suum Dominus Deus a a. id est, Imperator universalis. παντοκράωρ dici solet. et coli debet Nam Deus est vox relativa et ad servos refertur, et Deitas est dominatio Dei non in corpus proprium sed in servos. Deus Summus est Ens æternum infinitum absolute perfectum, sed Ens utcun que perfectum sine dominio non est Dominus Deus. Dicimus enim Deus meus, Deus noster, Deus vester, Deus Israelis: sed non dicimus Æternus meus, Æternus noster, Æternus vester, Æternus Israelis; non dicimus Infinitus meus, Infinitus noster, Infinitus vester, Infinitus Israelis; non dicimus Perfectus meus, Perfectus noster Perfectus vester, Perfectus Israelis. Hæ appellationes relationem non habent ad servos. Vox Deus passim significat Dominum sed sed omnis dominus non est Deus. Dominatio Entis spiritualis Deum constituit, vera verum, summa summum, ficta fictum. Et ex dominatione vera sequitur Deum verum esse vivum intelligentem & potentem; ex reliquis perfectionibus esse summum esse vel summe perfectum. Æternus est et infinitus, id est durat ab æterno in æternum et adest ab infinito in infinitum. Non est locus, non spatium, sed est in loco et in spatio, id que semper & ubi que . Cum unaquæ que spatij particula sit semper et unumquod que durationis momentum ubi que , certe rerum omnium fabricator ac dominus non erit nunquam nusquam. Deus Non est duratio non locus vel spatium, sed semper est et ubi que Omnipræsens est non per virtutem solam sed etiam per substantiam: nam virtus sine substantia subsistere non potest. In ipso b b Ita sentiebant veteres. Act. 17.27,28 Deut. 4.39, & 10.14. 1 King. 8.27. Iob. 22.12. Psal. 139.7. Ier. 23.23,24. continentur et moventur universa sed abs que mutua passione. Deus nihil patitur ex corporum motibus: illa nullam sentiunt resistentiam ex omnipræsentia Dei. Deum summum necessario existere in confesso est, et eadem necessitate semper est et ubi que . Vnde etiam totus est sui similis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus brachium, totus vis sentiendi intelligendi et agendi, sed more minime humano, more minime corporeo, more nobis prorsus incognito. Vt cæcus idæam non habet colorum sic nos ideam non habemus modorum quibus Deus sapientissimus sentit et intelligit omnia. Corpore omni et figura corporea prorsus destituitur, ideo que videri non potest nec audiri nec tangi, nec sub specie rei alicujus corporei coli debet. Ideas habemus attributorum ejus, sed quid sit rei alicujus substantia minime cognoscimus. Videmus tantum corporum figuras & colores, audimus tantum sonos, tangimus tantum superficies externas, olfacimus odores solos & gustamus sapores; intimas substantias nullo sensu, nulla actione reflexa cognoscimus, et multo minus ideam habemus substantiæ Dei. Hunc cognoscimus solummodo per ejus proprietates suas & attributa et per sapientissimas & optimas rerum structuras et causas finales; veneramur autem & hunc veneram & colimus ob dominium. Deus enim sine dominio providentia et causis finalibus nihil aliud est quam fatum et natura. Et hæc de Deo, de quo uti que ex phænomenis disserere ad Philosophiam experimentalem pertinet. Ex phænomenis prodeunt proximæ rerum causæ: ex his causæ superiores donec ad causam summ ā am perveniatur.

Hactenus phænomena cœlorum et maris nostri per vim gravitatis exposui, sed causam gravitatis nondum assignavi. Oritur uti que hæc vis a causa aliqua quæ penetrat ad us que centra Solis & Planetarum sine virtutis diminutione; quæ que agit non pro quantitate superficierum particularum in quas agit (ut solent causæ mechanicæ,) sed pro quantitate materiæ solidæ, et cujus actio in immensas distantias undi que extenditur decrescendo semper in duplicata ratione distantiarum. Gravitas in Solem componitur ex gravitatibus in singulas Solis particulas, & recedendo a Sole decrescit accurate in duplicata ratione distantiarum ad us que orbem Saturni, ut ex quiete Apheliorum Planetarum manifestum est & ad us que ultima Cometarum Aphelia si modo Aphelia illa quiescant 360 quiescant. Causam Rationem vero harum gravitatis proprietatum ex phænomenis nondum potui deducere, & hypotheses non fingo. Quicquid enim ex phænomenis non deducitur hypothesis vocanda est, et hypotheses seu phy metaphysicas seu physicas seu qualitatum occultarum seu mechanicas non sequor. Satis est quod gravitas revera existat et agat secundum leges a nobis expositas & ad corporum cœlestium et maris nostri motus omnes sufficiat.

Adjicere jam liceret nonnulla de spiritu quodam corpora pervadente & in corporibus latente cujus vi & actionibus particulæ corporum ad parvas distantias se mutuo attrahunt & corpora electria electrica agunt ad distantias majores tam repellendo quam attrahendo corpuscula vicinæ et cujus vibrationibus lux emittitur reflectitur refringitur inflectitur & corpora calefacit, & sensatio omnis excitatur & membra animalium ad voluntatem moventur, vibrationibus scilicet hujus spiritus per solida nervorum capillamenta ab externis sensuum organis ad cerebrum & a cerebra in musculos propagatis. Sed hæc paucis exponi non possunt, ne que adest abundans sufficiens copia Experimentorum quibus leges actionum hujus spiritus accurate determinari & monstrari debent.

361

209/100 16. 418,8

Scholium generale

Hypothesis vorticum multis premitur difficultatibus. ② Vt periodica Planetarum tempora periodica sint in proportione sesquialtera distantiarum a Sole, tempora periodica partium vorticis deberent esse in eadem proportione distantiarum proportione. ① Vt Planeta unusquis que radio ad Solem ducto areas describet tempori proportionales, tempora periodica partium Vorticis deberent esse in duplicata ratione distantiarum a Sole. Vt vortices Lunarum conserventur et tranquille natent in Vorticibus primarijs, tempora periodica partium Vorticis primarij deberent esse æqualia. Revolutiones corporum Solis et Planetarum circum axes suos ab omnibus hisce proportionibus discrepant. Motus Cometarum sunt summe regulares, & easdem leges cum Planetarum motibus observant, et per Vortices explicari nequeunt. Feruntur Cometæ quàm liberrime in omnes cœlorum partes, quòd fieri non potest nisi vortices tollantur.

Projectilia in aere nostro solam sentiunt resistentiam aeris. Sublato aere, ut fit in vacuo Boyliano, restentia resistentia cessat, & siqidem siquidem pluma at que & aurum æquali cum velocitate in hoc vacuo cadant. Et par est ratio spati a o rum cœlestium quæ sunt supra Atmosphæram Terræ. Corpora omnia in his spatijs ad leges gravitatis liberrime moventur moveri debent; Et Per gravitatem vero in spatijs hisce liberis Planetæ et Cometæ in orbibus suis revolve i ntur. Persaverabunt in motio Planeta sex princi quidem in motibus suis per leges naturæ gravitatis, sed motus suos primitus aquirere per leges hasce naturæ minime potuerunt.

Planetæ sex principales revolvuntur circum Solem in circulis Soli concentricis eodem ordine in eodem Plano quamproxime. Lunæ decem revolvuntur circum Terram Iovem et Saturnum in circulis concentricis eodem ordine in planis orbium Terræ Iovis et Saturni quamproxime. Et hi motus regulares non sunt facti regulares ex causis mechanicis facti regulares. non sunt facti regulares, siquidem Nam Cometæ in Orbibus valde excentricis & in omnes cœlorum partes libere feruntur. Ex consilio et dominio solo Entis intelligentis & potentis oriri potuit elegantissima hæcce Solis et Planetarum compages. Et si stellæ fixæ sint centra similium systematum, subsunt hæc omnia unius dominio. Hic omnia regit non ut anima mundi (nam corpus non habet) sed ut universorum Dominus, et propter dominium suum Deus est & Dominus Deus παντοκρατωρ dici solet. Æternus est et infinitus id est Semper durat & ubi que locatur: nam quod nunquam nusquam est nihil est An Deus erit nusquam cum momentum temporis sit ubi que ? Certe. Omnipræsens est non per virtutem solam sed etiam per substantiam: nam virtus sine substantia subsistere non potest et quæ fingitur sine substantia subsistere jam fingiens esse substantia. In ipso continentur et moventur universa id que sine passione. Deus nihil patitur ex corporum motibus; Illa resistentiam non sentiunt ex Omnipræsentia Dei. Eadem necessitate idem est Semper et ubi que . Sui Sub similis est Totus est sui similis, Totus est oculus totus auris, totus cerebrum, totus manus totus vis sentiendi & intelligendi & agendi sed more minime humano, more incorporeo more nobis prorsus incognito. Vivit sine corde et sanguine præsens præsentia sentit et intelligit sine organis sensuum et sine cerebro, & agit sine manibus, et corpore minime vestitus videri non potest sed Deus est prorsus invisibilis. Iam vero si Deus systema Solis et Planetarum in ordinem redegit, causæ finales in Philosophia naturali locum habebunt, et quem in finem conditus est mundus, quos in fines membra animalium formata sunt quo consilio situm elegantem inter se habent licebit inquirere

Hactenus phænomena cœlorum et maris nostri per vim gravitatis exposui sed causam gravitatis ex phænomenis nondum potui deducere. Oritur uti que gravitas ex causa aliqua quæ penetrat ad us que centra Solis et Planetarum sine virtutis diminutione, quæ que agit non pro quantitate superficierum particularum in quas agit (ut solent causæ mechanicæ) sed pro quantitate materiæ solidæ, et cujus actio in immensas distantias undi que extenditur decrescendo semper in duplicata ratione distantiarum. Gravitas in solem componitur ex gravitatibus in singulas Solis particulas et recedendo a sole decrescit in duplicata ratione distantiarum a Sole ad orbem us que Saturni Saturni ut ex quiete Apheliorum Planetarum manifestum est, & ad us que Apidus summa Aphelia Cometarum si modo Aphelia illa quiescant, et corpora impellit non in axes vorticum sed in centra Solis et Planetarum, et undi que ad æquales a centro distantias æqualiter agit. Hæc vis miraculum est Naturæ, et Causam vero harum proprietatum ejus ejus ex phænomenis nondum potui deducere invenire. Nam hypotheses seu mechanicas sue qualitatum occultarum fugio. Præjudicia sunt et scientiam non pariunt. Sufficit Satis est quod gravitas revera detur, & agat secundum leges a nobis expositas & ad omnes motus corporum cœlestium et maris nostri sufficiat motus omnes sufficiat.

Substantias rerum non cognoscimus. Nullas habemus earum ideas Ex phænomenis colligimus earum proprietates solas & ex proprietatibus intelligimus quod sint substantiæ. Corpora se mutuo non penetiare colligimu colligimus ex solis phænomenis: substantias diversi generis se mutuo non penetrare ex phænomenis minime constat colligitur constat Et quod ex phænomenis minime colligitur temere affirmari non debet.

Substantiarum Ideas non habemus. Ex phænomenis colligimus earum cognoscimus solas rerum proprietates solam rerum & ex proprietatibus rerum colligimus res ipsas ipsas extare sed sed quid sint res ipsæ eas que vocamus substantias sed ideas substantiarum non magis habemus quam cæcus ideas colorum. Ex phænomenis solis colligimus corpora se mutuo non penetrare: substantias diversi generis se mutuo non penetre ne quidem ex phænomenis non minime constat. Certe Sed Deu s m m s summu s m m s necessio existet re in confesso est et eadem necessitate semper sit et est esse et ubi que . ideo Vnde etiam totus est sui similis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus brachium, totus vis

Ex phænomenis intelleg colligimus cognoscimus rerum proprietates, ex proprietatibus colligimus res ipsas existere, eas que vocamus substantias sed ideas substantiarum non habemus. Videmus tantum corporum figuras et colores, audimus tantum sonos tangimus tantum superficies externas, olfacimus odores & gustamus sapores: essentias substantias vel essentias ipsas nullo sensu, nulla actione reflexa cognoscimus sentimus & percipimus cognoscimus, proinde que ideas earum non magis habemus quam cæcus ideas habet colorum. Ex coloribus Et ubi dicitur nos habere ideam Dei vel ideam corporis, nihil aliud intelligendum est quam nos habere ideam proprietatum vel attributorum Dei & vel ideam proprietatum quibus corpora vel a Deo vel a seinvicem distinguuntur. Vnde est quod ab de ideis nudar ū um substantiarum nullibi disputemus a proprietatibus abstractarum nullibi disputemus, conclusiones nullas ab ijsdem deducamus.

Idæas habemus attributorum ejus sed quid sit substantia rei alicujus substantia minime intelligimus cognoscimus. Videmus tantum corporum figuras et colores, audimus tantum sonos, tangimus tantum superficies externas, olfacimus odores & gustamus sapores: intimas conj substantias nullo sensu nulla actione reflexa cognoscimus, & multo minus ideam habemus substantiæ Dei. Hunc cognoscimus solummodo per attributa et proprietates et attributa.

Prop. 1. Perparvas corporum particulas vel contiguas vel ad parvas ab invicem distantias se mutuo attrahere. Exper 1. Vitrorum parallelorum. 2 Inclinatorum. 3 fistularum. 4 Spongiarum 5 Olei mælorum citriorum.

Prop. 2 Prop. 2. vel Schol. Attractionem esse electrici generis.

Prop. 3. Attractionem particularum particularum ad minimas distantias esse longe fortissimam (Per exper 5) & ad cohæsionem corporum sufficere.

Prop. 4. Attractionem sine frictione ad minimas parvas tantum distantias extendi ad majores distantias particulas se invicem fugere. Per exper 5. Exper. 6. De solutione metallorum

Prop. 5. Attracti Spiritum electricum esse medium subti maxime subtilem & corpora solida facillime permeare. Exper. 7. Vitrum permeat

Prop 6 Spiritum electricum esse medium maxime actuosum et lucem emittere Exper 8.

Prop. 7 Spiritum electricum a lucè agitari & id que motu vibratrorio, & in hoc motu calorem consistere. Exper 9. Corporum in luce Solis.

362

Hic omnia regit non ut anima mundi ( nam corpus enim non habet) sed ut universorum Dominus: et propter dominium suum Deus est omnium et Dominus Deus παντοκράτωρ dici solet. Æternus est et infinitas, id est semper seu durat ab æterno in æternum et adest ab infinito in infinitum. Semper durat et ubi que adest am quod nunquam nusquam est nihil est. An Deus fuerit nunquam nusquam Duratio ejus non est nunc stans sine duratione ne que præsentia ejus est nusquam c Cum unaquæ que spatij particula sit semper & unumquod que tempores momentum ubi que Certe certe Deus non erit nunquam nusquam. Semper durat et ubi que adest. Omnipræsens est non per virtutem solam sed etiam per substantiam. Nam virtus sine substantia subsistere non potest. b et Quod fingitur sine substantia subsistere, jam fingitur esse substantia. In a a. Act. 17.27,28, Psal. 139.7. Deut 4.39. & 10.14. 1 King. 8.27 Iob. 22.12 Ier. 23.23,24. ipso continentur et moventur universa, id que sine passione. Deus nihil patitur ex corporum motibus; illa nullam sentiunt resistentiam ex omnipræsentia Dei. Eadem necessitate idem est semper et ubi que idem est Deum est & semper et ubi que idem est. Totus est suis similis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus manus brachium, totus vis sentiendi intelligendi et agendi, sed more minime humano, more minime corporeo, more nobis prorsus incognito. Quo modo Deus sentit et intellit intelligit omnia non magis intelligere possumus quam cæcus intelligere quid sit videre. Vivit Deus sine corpore corde et sanguine, præsens præsentia sentit & intelligit sine organis sensuum et sine cerebro, sentit et intelligit et agit sine manibus. Nam que animal non est, nec compositus nec corpore aliquo vel figura corporea indutus vestitur Et cum corpore Omni & figura corporea prorsus destituatur, ✝ ✝ Iohn 1.18 & 5.37 1 Iohn 4.12. 1 Tim. 1.17 & 6.16. Col. 1.15 videre non potest, nec audiri, nec tangi, nec Iohn 5.37 1.18 & & I Iohn 4.12 I Tim. 6.16 & 1.17 Exod 20.4. Levit. Deut 4.12, 15, 16. Isa 40.18, 19. Act 17 29. Col. 1.15. sub specie rei alicujus corporei coli debet. Cætera omnia figuras corporeas induunt.

Iam vero si Deus systema Solis et Planetarum & in ordinem pulcherrimum redegit; si motum Planetis tal e i i e directione ac tali velocitate dedit ut in orbibus concentricis, circum solem eodem ordine in eodem plano ferantur; si motum Lunis quatuor Iovialibus Iovi prorsus concentricum in eodem ordine in eodem plano dedit & motus consimiles Lunis quin que Saturninis & Lunæ Terrestri dedit; & machinam tantorum corporum ad tantas distantias tam accurate constituere sit artis summæ et summæ potentiæ: Si præterea Cometæ in orbibus valde excentricis moventur ut per orbes Planetarum citissime transeant et transitu suo quocelemus quam minime perturbent Planetarum motus, & nullæ sint in motibus Planetarum imagina que inæqualitates exco irregularitates nisi quæ ex Cometarum attractionibus oriri potuerint; Si Cometarum aphelia in omnes cælorum regiones disponuntur ut hæc corpora ubi tardissime moventur se mutuo quam minime trahant & mutuos motus quam minime perturbent: [certe causæ finales in Philosophia naturali locum habebunt] si fixarum pe translatio inter se per parallaxim annuam nondum observetur, observari autem posset si modo m ad minuta quin que quatuor secunda ascenderet, & inde sequatur fixas proximas distantias fixarum proximarum a Sole superare distaniam distantiam Saturni a Sole Terræ a Sole in ratione plusquam 100000 ad 1; tantæ autem sint distantiæ fixarum et a Sole et a se invicem nec systemata eorum et in se mutuo cadant: certe causæ finales in Philsophia naturali locum habent, & quem in finem conditus est hic mundus, quo consilio corpora cœlestia orbes cœlestes situm orbi tam elegantem inter se habeant, qua potentia corpora cœlestia inter se locentur regantur et motus su distantias & motus suos obtinuerunt & ad distantias tantas locata sunt, & uti et quos in fines membra animalium formata sunt & quo authore situm & structuram tam commodum elegantem tam elegantem nacta sunt inter se nacta sunt jam certe licebit inquirere.

Deus est nomen relativum et refertur ad servos ejus. Dicimus enim Deum meum Deum nostrum, Deum vestrum, Deum Deum servorum ejus id est Dominum meum supremum, Dominum nostr ū um supremum, Dominum vestrum supremum Domin ū um servorum. At non dicimus Ens perfectum meum Ens perfectum nostrum, Ens perfectum vestrum Æternum meum, æternum nos trum, æternum vestrum, infinitum meum, infinitum nostrum, infinitum Ens perfectum meum Ens perfectum meum, Ens perfectum nostrum, Ens perfectum vestrum, Ens perfectum servorum. Non dicimus Æternum noster æternus vester, infinitus noster, infinitus vester Ens perfectum meum Ens Hæc Qui Ens perfectum dari demonstraverit & Dominum universorum seu παντοκρατωρ nondum demonstraverit, Deum dari nondum demonstraverit. Ens æternum, infinitum sapientissimum, summe perfectum sine dominio There are some calculations in the margin that have not been included in this transcription. dominio non est Deus sed natura solum. Hæc nonnullis æterna, infinita, sapientissima et potentissima credit est, & rebus operibus ut sint rerum omnium author necessario existens Dei autem id dominium seu Deitas non ex ideis abstractis sed ex phænomenis id que per ex eorum causas finalis bus optime demonstratur.

Prop. 8. Lucem in fundo incidendo in fundum oculi vibrationes excitare quæ per solida nervum optic u a m capillamenta in cerebr ū um dela propagatæ visionem excitant.

Schol. Omnem sensationem omnino motum animalem mediante spiritu electrico peragi.

Prop. 9. Vibrationes spiritus electrici ipsa luce celeriores esse.

Prop. 10. Lucem a spiritu electrico refri emitti refringi reflecti et inflecti.

Prop. 11. Corpora homogenea per attractionem electricam congregari heterogenea segregari.

Prop. 12 Nutritionem per attractionem electricam peragi.

The remaining material is written upside down from the bottom of the page and is a rough draft of MINT00452.

Sr Sir

Having now made the

Imploying a Refiner to melt all the gold & silver coyned in or our Mint & allowing him for his wast & charge & wast, together he makes up all the sweep for himself & least I have had no occasion to make up any sweep & so cannot be so exact on my own account & so cannot be so exact in this matter giving account of the wast upon my own knowledge. As I advised wth with the Refiner who melts the for me, but am not fully satisfied wth with what he tells me, & so have been slow in returning an answer to your Letters about the Question between ye the executors of Mr Scot & Mr Allardes & Mr Scott. But upon considering the matte I can acquaint you that allow the melter 13d per pound weight Troy for melting the gold his this charge & wast melting the gold & bears all the loss by I re if 3d per lwt be recconed for the charges of melting there will remain 10d for ye the wast. Whence the wast cannot exceed 5 grains in the pound weight of gold. For standard gold is worth 2d per grain. The wast of silver may be something more then that of gold but not double when the sweep is well made up. It may amount to 6 or 8 grains but scarce to 10 when ye the sweep is well made up. Th This is to be understood of the melting in the Mint in ye the Tower of London For For I remember that in the beginning of the late coinage at Edinburgh, it was represented to us that by the Mr Scot & Dr Gregory that your pit coal burning with a bright flame caused the so great a wast as to require the putting in to the melted silver an half penny weight of gold copper allay to every pound weight Troy of gold silver the one one half thereof just before the melter began to bade off pour off the melted silver into the flasks & the other half when about one half of ye the silver was poured off, We disputed with them stifly about & that this was a standing practise in that Mint. Now about one half of the money silver melted & run into barrs is coined into money & the rest being scissel & limel is returned to ye the melting pot, & therefore for every half pound of money coined, a half penny weight of copper is put into the melting pot, to w or a penny weight to every pound weight of money. Now if the wast in your mint by the f fining away of the allay in melting should be a penny weight or 24gr per Lwt in your Mint more then in ours ( wch which I can scarce beleive) yet the addition of a penny weight of copper in your mint more then in ours would bring them to an equality

363 Scholium generale

Hypothesis Vorticum multis premitur difficultatibus. Vt Planeta unusquis que radio ad Solem ducto areas describat tempori proportionales, tempora periodica partium Vorticis deberent esse in duplicata ratione distantiarum a Sole. Vt periodica Planetarum tempora sint in proportione sesquiplicata distantiarum a Sole, tempora periodica partium Vorticis deberent esse in eadem distantiarum proportione. Vt Vortices minores Lunarum in circuitu Planetas circum Saturnum Iovem et alios Planetas conserventur conserventur, data lege perpetuo revolvantur & in hunc finem tranquille natent in vortice primario, Solari tempora periodica partium Vorticis primarij Solaris deberent esse æqualia. Revolutiones Solis & Planetarum circum axes suos ab omnibus hisce proportionibus discrepant. Motus Cometarum sunt summe regulares, et easdem leges cum Planetarum motibus observant, et per Vortices explicari nequeunt. Feruntur Cometæ motibus valde excentricis in omnes cœlorum partes; quod fieri non potest nisi Vortices tollantur.

Projectilia in aere nostro solam aeris sentiunt resistentiam aeris sentiunt. Sublato aere, ut fit in vacuo Boyliano, resistentia cessat, siquidem pluma tenuis & aurum solidum æquali cum velocitate in hoc vacuo cadant. Et par est ratio spatiorum cœlestium quæ sunt supra Ap tmosphæram Terræ. Corpora omnia in his spatijs liberrime moveri debent, et propterea Planetæ et Cometæ in orbibus suis specie et positione datis perpetuo revolvi. Perseverabunt quidem in motibus orbibus suis moveri per leges gravitatis, sed motus suos regularem orbium situm per primitus acquirere per leges hasce naturæ minime potuerunt.

Planetæ sex principales revoluntur circum Solem in circulis Soli concentricis eodem ordine in eodem plano quamproxime. Excentricitates enim perparvæ sunt & ab attractionibus Cometarum transeuntium paulum oriri potuerunt. Lunæ decem revolvuntur circum Terram Iovem & Saturnum in circulis concentricis eodem ordine in planis Orbium Planetarum quamproxime. Et hi omnis motus motus non sunt regulares originem non habent ex causis mechanicis, facti 1 regulares 2, siquidem Cometæ in Orbibus valde excentricis & in onmes cœlorum partes libere ferantur. Ex consilio et dominio solo Entis intelligentis oriri potuit elegantissima hæcce Solis & Planetarum compages oriri potuit. Et si Stellæ fixæ sint centra similium systematum subsunt hæc omnia simili consilio constructa suberunt sub dit erunt unius dominio.

Hic omnia regit non ut anima mundi sed ut universorum Dominus: corpus enim non habet, nec mundus universus vivit ut animal sed a Deo vivente regitur et ordinatum perinde ut Do De Deus espim Et propter dominium suum, & Dominus Deus παντοκράτωρ dici solet Nam Deus est vox relativa et ad servos refertur & sine Ens ut un perfectissimum sine dominio Deus non est Dominus Deus.. Æternus est in et infinitus id est durat ab æterno in æternum & adest ab infinito in infinitum. Cum unaquæ que Spatij particula sit semper & unamquod que durationis momentum ubi que , certe Deus rerum omnium fabricator ac Dominus non erit nunquam nusquam. Omnipræsens est non per virtutem solam sed per etiam per substantiam: nam virtus sine substantia subsistere non potest. In ipso a a Act. 17.27, 28. Deut 4.39. & 10.14. 1 King. 8.27. Iob. 22. 12. Psal. 139.7. Ier. 23.23, 24. continentur et moventur universa id que sine passione passione. Deus nihil patitur ex corporum motibus: illa nullam sentiunt resistentiam ex omnipræsentia Dei. Necessario existit et Eadem necessitate et idem Deus idem est est est idem Ideo que idem est semper et ubi que . Totus est sui similis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus brachium, brachium, totus vis sentiendi intelligendi et agendi, sed more minime humano, more minime corporeo, more nobis prorsus incognito. ☉ ☉ Vt cæcus ideam non habet colorum sic nos ideam non habemus modorum quibus Deus sentit et intelligit omnia. Corpore omni prorsus destituitur & figura corporea prorsus destituitur, ideo que nec videri potest nec audiri nec tangi nec sub specie rei alicujus corporei coli debet. Et cum Deuss hinc summus Corpore omni & figura noni corporea prorsus destituitur, b b Iohn 1.18 & 5.37. Col. 1.15. 1 Tim. 1.17 & 6.16. 1 Iohn 4.12. ideo que videri non potest nec audiri nec tangi, nec sub specie rei alicujus corporei coli debet.

Hactenus phænomena cœlorum & maris nostri per vim gravitatis exposui, sed causam gravitatis ex prænomenis nondum potui deducare nondum assignavi. Oritur uti que hæc vis ex causa aliqua quæ penetrat ad us que centra Solis & Planetarum sine virtutis diminutione, quæ que agit non pro quantitate superficierum particularum in quas agit (ut solent causæ mechanicæ) sed pro quantitate materiæ solidæ & cujus actio in immensas distantias undi que extenditur decrescendo semper in duplicata ratione distantiarum. Gravitas in Solem componitur ex gravitatibus in singulas Solis particulas et recedendo a Sole decrescit in duplicata ratione distantiarum a Sole ad us que orbem us que Saturni, ut ex quiete Apheliorum Saturni Planetarum manifestum est, & ad us que ultima Aphelia Cometarum Aphelia si modo Aphelia illa quiescant. Causam vero harum gravitatis proprietatum ex phænomenis nondum potui deducere: Non et hypotheses seu mechanicas seu qualitatum occultarum non fingo. sequor. Satis est quod gravitas revera detur et agat secundum leges a nobis expositas, & ad corporum cœlestium et maris nostri motus omnes sufficiat.

Nam Deus est vox relativa et ad servos refertur & Deitas est dominatio Dei in servos. Deus summus est Ens per æternum, infinitum, vivum absolute perfectum, sed Ens utcun que perfect ū um sine vita et dominio non est Dominus Deus. Dicimus enim Deus meus Deus noster Deus vester, Deus Israelis, sed non dicimus per Ens absolute perfectum meum, Ens absolute perfectum nostrum, Ens absolute perfectum vestrum Ens absolute perfectum Israelis; Æternus meus, Æternus noster, Æternus vester, æternus Israelis. Infinitus meus, infinitus noster, infinitus vester, infinitus Israelis, Ens absolute perfectum meum, Ens absolute perfectum nostrum, vestrum, Israelis. Dominatio entis spiritualis Deum cæteræ perfectionis Deum summum constituunt. Et Dominatio quidem vero Deum verum facitur facit, dominatio falsa vero conficta Deum falsum. Per dominati Ex dominatione vero sequitur quod Deus sit vivus & intelligens & potens perfectus meus perfectus noster perfectus noster vester perfectus Israelis Hæ appellationes relationem non habent ad dominium servos. Dominatio Entis spiritualis Deum verum constituit, vera verum summa summum æterna æternum infinita infinitum summa ficta falsum. summum, ficta falsum. Et Ex dominatione vera sequitur quod Deus verus sit vivus intelligens & potens, ex reliquis autem perfectionibus quod sit summus vel summe perfectús. Æternus est et infinitus, id est durat ab æterno in æternum at adest ab infinito in infinitum.

365 365 Scholium generale.

Hypothesis Vorticum multis premitur difficultatibus. Vt Planetarum unusquis que radio ad Solem ducto areas describat tempori proportionales, tempora periodica partium Vorticis deberent esse in duplicata ratione distantiarum a Sole. Vt periodica Planetarum tempora sint in proportione sesquiplicata distantiarum a Sole, tempora periodica partium Vorticis deberent esse in eadem distantiarum proportione. Vt Vortices minores circum Saturnum Iovem et alios Planetas gyrati, conserventur & tranquille natent in Vortice Solis, tempora periodica partium Vorticis solaris deberent esse æqualia. Revolutiones Solis et Planetarum circum axes suos, ab omnibus hisce proportionibus discrepant. Motus Cometar ū um sunt summe regulares, & easdem leges cum Planetarum motibus observant, et per Vortices explicari nequeunt. Feruntur Cometæ motibus valde excentricis in omnes c œ æ lorum partes, quod fieri non potest nisi Vortices tollantur.

Projectilia in aere nostro solam aeris resistentiam sentiunt. Sublato aere ut fit in vacuo Boyliano, resistentia cessat, siquidem pluma tenuis & aurum solidum æquali cum velocitate in hoc vacuo cada unt. Et par est ratio spatiorum cœlestium quæ sunt supra Atmosphæram Terræ. Corpora omnia in his spatijs liberrime moveri debent, & propterea Planetæ et Cometæ in orbibus specie et positione datis secundum leges supra expositas perpetuo revolvi. Perseverabunt quidem in orbibus suis per leges gravitatis, sed regularem orbium situm primitus acquirere per leges hasce minime potuerunt.

Planetæ sex principales revolvuntur circum Solem in circulis Soli concentricis eo adem ordine motus directione in eo adem plano quamproxime. Lunæ decem revolvuntur circum Terram Iovem et Saturnum in circulis concentricis eodem ordine motus directione in planis Orbium Planetarum quamproxime. Et hi omnes motus regulares originem non habent ex causis mechanicis, siquidem Cometæ in Orbibus valde excentricis et in omnes cœlorum partes libere fera untur. Ex c Consilio et dominio solo Entis intelligentis, elegantissima hæcce Solis et Planetarum compages oriri potuit. Et si stellæ fixæ sint centra similium systematum, hæc omnia simili consilio constructa suberunt u Vnius dominio: præsertim &c

Hic omnia regit non ut anima mundi sed ut universorum Dominus et propter dominium suum Dominus Deus παντκράτωρ dici solet. Nam Deus est vox relativa et non ad corpus Dei sed ad servos refertur, et Deitas est dominatio Dei non in corpus prop. sed in servos. Deus summus est Ens æternum infinitum absolute perfectum, sed Ens utcun que perfectum non est Deus summus sine vita et dominio & servos non est Deus dominus Deus. Dicimus enim Deus meus, Deus vester noster, Deus vester, Deus Israelis : ; sed non dicimus Æternus meus, æternus Æternus noster, æternus vester, Æternus Israelis; Infinitus meus, Infinitus noster Infinitus vester, Infinitus Israelis; Perfectus meus, Perfectus noster, Perfectus ve ster Perfectus Israelis. Hæ appellationes relationem non habent ad servos. Dominatio Entis spiritualis Deum Deitatem constituit, vera verum, veram summa summum, ficta fictum. Ex Ex Et ex dominatione vera, sequitur quod Deum verum est se vivum s intelligens t ē em & potens tem; ex reliquis perfectionibus, quod sit esse summu m s s m vel summ us e perfectu m s s m vel Summus. Æternus est et infinitus, id est, durat ab æterno in ætern ū um et adest ab infinito in infinitum. Cum unaquæ que spatij particula sit semper semper, et unumquod que durationis momentum ubi que , certe rerum omnium Fabricator ac Dominus non erit nunquam nusquam. Omnipræsens est non per virtutem solam, sed etiam per substantiam: nam virtus sine substantia subsistere non potest. In ipso a a Ita sentiebant Veteres, Act. 17.27, 28. Deut 4.39, & 10.14. 1 King. 8.27. Iob 22.12. Psal. 139.7. Ier. 23.23, 24. continentur et moventur universa, id que sine sed abs que mutua passione. Deus nihil patitur ex corporum motibus: illa nullam sentiunt resistentiam ex omnipræsentia Dei. Deum summum necessario existere in confesso est, et hac eadem necessitate semper est et ubi que . Vnde etiam totus est sui similis, totus oculus, totus auris, totus cerebrum, totus brachium, totus vis sentiendi intelligendi & agendi, sed more minime humano, more minime corporeo, more nobis prorsus incognito. Vt cæcus ideam non habet colorum, sic nos ideam non habemus modorum quibus Deus sentit et intelligit omnia. Corpore omni et figura corporea prorsus destituitur, ideo que videri non potest nec audiri nec tangi; nec sub specie rei alicujus corporei coli debet. Ideas habemus attributorum ejus, sed quid sit rei alicujus substantia minime cognoscimus. Videmus tantum corporum figuras & colores, audimus tantum sonos, tangimus tantum superficies internas, olfacimus odores solos & gustamus sapores; intimas substantias nullo sensu, nulla actione reflexa cognoscimus;: & multo minus ideam habemus substantiæ Dei. Hunc cognoscimus solummodo per ejus proprietates & attributa et figures per elegantes & optimas rerum structuras et causas finales.

Hactenus phænomena cœlorum et maris nostri per vim gravitatis exposui, sed causam gravitatis nondum assignavi. Oritur uti que hæc vis a causa aliqua quæ penetrat ad us que centra Solis et Planetarum sine virtutis diminutione; quæ que agit non pro quantitate superficierum particularum in quas agit (ut solent causæ mechanicæ,) sed pro quantitate materiæ solidæ, et cujus actio in immensas distantias undi que extenditur decrescendo semper in duplicata ratione distantiarum. Gravitas in Solem componitur ex gravitatibus in singulas gravita Solis particulas, & recedendo a Sole decresci accurate in duplicata ratione distantiarum ad us que orbem Saturni, ut ex quiete Apheliorum Planetarum manifestum est; & ad us que ultima Cometarum Aphelia, si modo Aphelia illa quiescant. Causam vero harum gravitatis proprietatum ex phænomenis nondum potui deducere, & hyptheses hypotheses seu mechanicas seu qualitatum occultarum non sequor. Satis est quod gravitas revera detur existat, et agat secundum leges a nobis expositas, & ad corporum cœlestium et maris nostri motus omnes sufficiat.

To the Rt Honble Right Honourable the Lords Comm.ers Commissioners of his Majts Majesties Treasury.

May it please yor Lordps your Lordships

Vpon the passing of a new Indenture, I being to give security in 2000£ besides my own bond, I humbly propose for my sureties Mr Hall the Comptroller of the salt Office in a Bond of one thousand pounds & Dr Fauquier my Deputy in a Bond of another thousand pounds. [& pray that it may be referred to the proper Officers in the Exchequer Office to enquire into the sufficiency of these sureties.]

All wch which is most humbly submitted to yor Lordps your Lordships great wisdome Isaac Newton Mint Office 6 May 1718

Sir

You are desired to call at the Treasury with Your first Convenience to revise the draft of the Indenture for the Mint at Edinburgh. I am Sir Your most humble Servant J Taylour

Trery Chrs Treasury Chambers 11.th Jan 1711

Sr. Sir Isaac Newton

Sr. Sir

I should be heartily glad to discourse the Gentleman recommend recommended by Count Bothmar & others for his skill & experience in things relating toMines & Mineralls & for that end will be at home fro till after five a clock this afternoon